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원점을 지나는 직선이 하나 있다고 해보죠 직선을 평면 R²에 그려봅시다 그러나 R² 뿐만 아니라 임의의 Rⁿ 공간으로도 확장될 수 있습니다 축을 하나 그려보죠 이렇게 그린 좌표축을 보고 무엇을 할 지 알 것입니다 원점을 지나는 직선을 그려보죠 그린 직선이 여기 있겠죠? R²에 있다고 생각했던 어떤 Rⁿ에 있는 직선이 벡터의 스칼라배로 표현된다는 것을 알 수 있습니다 벡터의 스칼라배로 표현된다는 것을 알 수 있습니다 직선 위의 한 벡터를 생각해봅시다 직선 위의 한 벡터를 생각해봅시다 이 직선을 정의할 수 있죠 직선 L이 모든 스칼라곱의 집합과 같다고 말할 수 있죠 이 벡터를 v라고 합시다 따라서 이것은 벡터 v의 가능한 모든 스칼라곱을 나타냅니다 스칼라는 정의에 의해서 실수입니다 만약 v에 양의 배수, 음의 배수, 그리고 1보다 작은 수, 분수를 곱한다면 원점을 지나는 직선의 모든 점을 정의하거나 지칭하는 벡터의 집합을 얻을 수 있습니다 물론 그 직선이 원점을 지나지 않게 하려면 당신은 몇 가지 벡터로 직선을 바꾸는 과정을 거쳐야 합니다 즉 cv에 다른 벡터가 더해져야겠죠 어쨌든 원점을 지나는 이 직선에서 시작합니다 어쨌든 원점을 지나는 이 직선에서 시작합니다 오늘 강의에서 중요한 것은 벡터 x의 직선 L로의 정사영을 정의하는 것입니다 그럼 벡터 x를 그려보겠습니다 이것을 벡터 x라고 해봅시다 이제 정사영에 대한 감각을 알려드리죠 그 후 정사영을 더 정확히 정의할 것입니다 직선에 대해 수직으로 비추는 빛이 있다고 상상해 봅시다 그 빛이 이런 식으로 비추고 있고 빛이 L과 직교하므로 L에 정사영한 x를 x의 그림자로 생각할 수 있겠죠 그래서 만약 빛이 비춰지면 L에 놓인 x의 그림자를 이렇게 빛과 직교하게 그리고 이 그림자는 여기 있는 벡터가 되겠죠 요약하면 이것을 L에 정사영한 x의 그림자로 볼 수 있다는 겁니다 이런 방식으로 생각할 수 있습니다 다른 방식으로는 x가 L의 방향으로 얼마만큼 이동했는지 생각해볼 수 있습니다 결국 하는 방식은 똑같습니다 x에서 L로 수선을 그렸다고 하면 수선의 발에 닿기 위해 x가 얼마나 움직였을까요? 이 두 가지 모두 정사영이라는 개념을 생각하는 방법입니다 이 두 가지 모두 정사영이라는 개념을 생각하는 방법입니다 그림자는 정사영으로도 불리게 된 계기의 일부라고 생각합니다 그쵸? 어떤 것을 정사영할 때 광선이 도달한 곳을 보고 있겠죠 여기서 정사영하고 있습니다 이 경우에서는 빛을 쏘면 이 직선에 도달하겠죠 그러나 이 정의와 관련된 어떤 것도 할 수 없습니다 이건 정사영이 무엇인가에 관한 직감일 뿐이니까요 그래서 이것을 계산할 방법을 이해할 필요가 있죠 즉, 수학적으로 정확한 정의를 내려야 합니다 할 수 있는 것은 이 정사영을 만들 때 또 다른 정사영의 또 다른 직선이나 또 다른 벡터를 그려보는 것입니다 만약 여기에 다른 벡터가 있다면 이에 대한 정사영은 이렇게 그려질 것입니다 수선을 그리면 그 정사영은 이렇게 되죠 그러나 이 경우만을 다루고 싶지는 않습니다 이 직선에 있는 어떤 벡터의 그림자에 대해 제대로 이해했으면 좋겠습니다 기존 예제로 어떻게 생각할 수 있을까요? 모든 경우에서 어떻게 되든지 수선을 여기에 내렸습니다 만약 여기에 벡터를 만든다면 이렇게 말할 수 있습니다 그 벡터는 항상 이 직선에 수직일 것입니다 그리고 그것을 할 수 있죠 할 수 없는 것들은 말하지 않을 것입니다 그럼 정의하지 않았던 이 벡터를 정의해볼까요 이 벡터는 무엇이 될까요? 방금 했던 것과 다른 관점에서 설명해 드리겠습니다 우리는 어떻게든 파란 벡터에 도달해야 해요 이 파란 벡터를 보죠 이 파란 벡터는 직선 L에 대한 x의 정사영입니다 이게 얻어야 할 것이죠 그럼 여기 있는 분홍 벡터를 보죠 분홍 벡터는 뭘까요? 이 분홍 벡터는 그냥 그렸던 벡터 x에 이 파란 벡터를 뺀 것입니다 즉, L에 대한 x의 정사영을 뺀 것이죠 만약 분홍 벡터에 파란 벡터를 더하면 x를 얻겠죠 그래서 만약 x의 파란 정사영에 x에 x의 정사영을 뺀 것을 더하면 당연하게도 x가 나오는 것입니다 이 분홍 벡터가 직선에 수직이라는 것은 직선 상에 있는 모든 벡터에 수직이라는 것을 의미합니다 또한 둘의 내적이 0이라는 것을 의미하죠 그래서 정사영을 이렇게 정의하겠습니다 조금 더 수학적인 정의일지도 모르겠네요 벡터 x의 L에 대한 정사영은 L에 있는 벡터입니다 그렇지 않나요? 파란 벡터를 여기에 그렸고 하얀색으로 표시하겠습니다 살짝 직관적이지 않을 수 있습니다 x에서 x의 L에 대한 정사영을 뺀 것은 직선에 수직입니다 정사영을 이렇게 말할 것입니다 직선 L에 대한 x의 정사영과 x에서 정사영을 뺀 직선 L위의 벡터는 직선 L에 직교합니다 이것이 정의이죠 이것은 좀 더 정확하고 그림자와 정사영과의 관계를 이해시킬 것입니다 그림자와 정사영과의 관계를 이해시킬 것입니다 그러나 어떻게 이것을 다룰까요? 말 그대로입니다 L에 대한 x의 정사영을 어떻게 계산할 수 있을까요? 단서는 x에 x의 정사영을 뺀 벡터가 L에 수직이라는 사실입니다 그럼 이 사실을 사용했을 때 어떻게 되는지 볼까요? 그래서 먼저 알아야 할 것은 정의상 L에 대한 x의 정사영은 L에 있는 한 벡터인 v에 어떤 실수를 곱해서 얻을 수 있기 때문에 어떤 실수를 곱해서 얻을 수 있기 때문에 L에 대한 x의 정사영을 다시 적어보는 것입니다 L에 대한 x의 정사영을 다시 적어보는 것입니다 이것을 벡터 v에 스칼라를 곱한 형태로 쓸 수 있습니다 그렇지 않나요? 이렇게 말할 수 있죠 이것은 정사영과 동일합니다 이제 x에서 정사영을 뺀 벡터는 L과 직교하므로 정사영을 여기 이 벡터의 어떤 배수로 다시 쓸 수 있습니다 여기 그린 것을 보세요 이 벡터의 2배 정도 돼 보이네요 그래서 x에 정사영을 뺀 것은 L에 수직인 정사영입니다 직교성의 정의는 직선 L에 있는 임의의 두 벡터의 내적이 0이라는 것을 의미합니다 L 위의 한 벡터와 내적을 해보겠습니다 벡터 v와 내적을 해볼까요? L을 정의하기 위해 사용한 것입니다 v와 내적 해 봅시다 그러면 우리는 이 값이 0이라는 것을 알 수 있죠 벡터 v와 내적한 이 벡터에 대해서 이게 0이라는 것을 알죠 0이 될 수 밖에 없습니다 c의 값을 안다면 주어진 벡터 v에 그 값을 항상 곱할 수 있기 때문에 c의 값을 계산할 수 있는지 확인하기 위해서 내적의 성질을 이용해볼까요 그러면 정사영이 나올 것입니다 실제 수를 이용하여 한 번 보여드리죠 c를 계산할 수 있는지 봅시다 만약 c를 분배한다면, 아 미안합니다 벡터 v를 분배한다면 내적은 분배법칙이 성립하는 것을 알고 있습니다 내적은 분배법칙이 성립하죠 이 식은 x·v로 쓰여질 수 있습니다 맞나요? x·v - (cv)·v x·v - (cv)·v 위의 식을 다시 정리하였습니다 이는 c - cv·v와 똑같습니다 이것을 -cv라고 할 수 있죠 이것은 -cv·v이고 계산하면 0이 됩니다 c를 구하기 위해 양변에 cv·v를 더해봅시다 c를 구하기 위해 양변에 cv·v를 더해봅시다 x·v = cv·v라는 등식을 얻었죠 c를 구하기 위해 양변을 v·v로 나눕시다 이것을 다른 색깔로 표현하겠습니다 c는 x·v를 v·v로 나눈 것과 같습니다 그럼 c는 뭐였을까요? x의 정사영을 여기에 써볼까요? L에 대한 x의 정사영은 어떤 스칼라 배수와 같지 않나요? 이 정사영은 L 위에 있으므로 정의한 벡터 v의 스칼라배입니다 그리고 스칼라배의 값이 무엇인지 방금 구했습니다 그것은 x·v/v·v이고 물론 숫자가 됩니다. 맞죠? 즉, 그대로 스칼라입니다 비록 벡터끼리 계산하더라도 내적을 취하면 숫자를 얻게 됩니다 그리고 그 수에 v를 곱하는 것이죠 즉, v의 크기를 조절함으로써 정사영을 얻는 것입니다 여기서 설명한 방법은 내적이 벡터를 2배 가까이 확장시켰으므로 그 결과 벡터 v를 2배 확장시켰을 때 이 값은 2가 되고 정사영은 다음과 같이 나옵니다 좀 추상적인 것 같으니 실제 벡터로 해봅시다 이 과정은 감각을 조금 더 키워줄 것입니다 이 과정은 오직 R²에만 적용됩니다 다만 이것을 고차원으로 확장할 수 있습니다 따라서 비록 R²에서만 진행했고 보통은 R²와 R³에서 정사영을 다뤘을 지라도 Rⁿ에도 적용할 수 있습니다 이 특정한 경우를 봅시다 L을 임의의 벡터에 스칼라 곱을 취한 집합으로 정의해봅시다 벡터 (2, 1)에 실수 c를 곱했다고 합시다 벡터 (2, 1)에 실수 c를 곱했다고 합시다 여기에 축을 그려보죠 이렇게 y축을 그리고 x축을 그렸습니다 제가 그릴 직선은 벡터 (2,1)의 스칼라곱입니다 그리고 벡터 (2, 1)의 이름을 v라고 하겠습니다 여기에 그려보죠 앞으로 2칸, 위로 1칸 이게 벡터 v입니다 직선은 그것의 가능한 모든 스칼라곱입니다 그럼 여기에 그려볼까요? 그것의 모든 스칼라 곱은 직선의 모습을 유지하며 이렇게 앞뒤로 연장되겠죠 직선의 모습을 유지하며 이렇게 앞뒤로 연장되겠죠 이 직선이 v에 스칼라곱을 취한 직선입니다 이제 또 다른 벡터 x가 있다고 하고 이 벡터는 (2, 3)이라고 합시다 x를 그려보죠 앞으로 두 칸, 위로 세 칸 x는 다음과 같습니다 x는 다음과 같습니다 조금 예쁘게 그려볼까요? 벡터 x는 이렇게 그려집니다 벡터 x입니다 하지만 우리가 하고 싶은 것은 L에 대한 x의 정사영을 이해하는 것입니다 여기에 이 정의를 사용할 수 있습니다 한 번 써보겠습니다 L에 대한 x의 정사영은 무엇인가요? x·v와 같습니다 그렇지 않나요? v는 직선 위에 있는 벡터입니다 따라서 x·v/v·v가 됩니다 따라서 x·v/v·v가 됩니다 즉 원래 정의했던 벡터 v의 x·v/v·v배가 될 것 입니다 즉 원래 정의했던 벡터 v의 x·v/v·v배가 될 것 입니다 원래 정의했던 벡터는 무엇일까요? 여기 있는 벡터 (2, 1)입니다 즉, (2, 1)의 x·v/v·v배인 것이죠 그럼 이것은 무엇과 같을까요? 분자의 스칼라곱을 계산하면 2 × 2 + 3 × 1 = 7이 될 것입니다 그래서 계산하면 7입니다 같은 방법으로 분모 역시 2 × 2 + 1 × 1 = 5가 되므로 7/5배가 된다는 것을 알 수 있죠 분모는 5가 되었습니다 상당히 빠르게 풀었네요 희한하게 생긴 식에 어리둥절할 수도 있지만 내적을 취한다면 이렇게 간단하고 빠르게 나온다는 것을 알게 될 겁니다 이제 얻은 실수와 직선 위에 있는 벡터 v를 곱해봅시다 벡터를 7/5만큼 확대할 수 있겠죠 이제 (2,1)에 곱한다면 무엇을 얻게 될까요? 새로 얻게 된 벡터를 다른 색으로 표시해 보죠 (14/5, 7/5)를 얻었습니다 좌표에 쉽게 표현하기 위해 분수를 소수로 바꿔보겠습니다 14/5 = 2 + (4/5)이니까 2.8이 될 것이고 7/5 = 1 + (2/5)로 1.4가 될 것입니다 그래서 L에 대한 x의 정사영은 (2, 8, 1, 4)입니다 좌표에 나타내면 벡터는 이와 같이 보여질 것입니다 얻은 벡터의 좌표로 정확히 그리기는 귀찮지만 처음 배운 방법을 이용하면 간단해집니다 이것이 정사영입니다 이 계산과정은 이것이 L에 대한 x의 정사영을 보여줍니다 이렇게 x에서 L에 수선을 내린다면 이것은 L에 내려진 x의 그림자일 것입니다 이제, 우리는 정사영의 수학적 의미와 계산법을 알았습니다 다음 강의에서 변환의 대표적인 행렬을 이해하는 시간을 가져봅시다