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주요 내용
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선형변환 예제: R2에서의 회전

동영상 대본

각도 θ로 회전변환을 하는 선형변환을 만들 수 있는지 보겠습니다 이 변환은 R2에 있는 아무 벡터를 회전한 상태인 벡터로 사상하게 만듭니다 벡터 x의 회전 Rotθ(x)는 시계반대방향으로 θ만큼 회전한 x입니다 이게 회전변환을 쓰는 이유입니다 이게 합당한지 보려면 이게 진짜 선형변환인지 확인해야 합니다 시각적으로 되는지 보여드리겠습니다 아직 수학적으로 정의도 안해드렸습니다 먼저 시각적으로 보고 그 다음에 수학적으로 정의할게요 빨리 축들을 그리겠습니다 조금 더 깔끔히 그리겠습니다 이게 제 y축입니다 이게 제 x축입니다 이걸 x1이라고 부르겠습니다 이걸 x2라고 부르겠습니다 마지막 동영상에서는 이들을 x 그리고 y라고 했습니다 이건 우리 벡터의 첫 성분입니다 이건 두번째 성분입니다 어떤 벡터 x가 있으면 이것에 시계 반대 방향 회전은 이렇게 생겼습니다 회전을 파란색으로 보여드리겠습니다 이렇게 생길겁니다 이 각도는 θ입니다 이것은 각도 θ만큼 회전한 x입니다 Rotθ(x) 그럼 이 벡터는 뭘까요? 이것 선형결합으로 만드려면 우린 뭘 해야할까요? 우리 두가지를 보여줘야합니다 우린 이 변환, 두 벡터의 함의 각도 θ에 의한 회전은 그 두 벡터 각각의 회전이랑 같다고 보여줘야합니다 벡터 x의 회전 더하기 벡터 y의 회전말입니다 시각적으로 보여주겠습니다 이건 벡터 x입니다 벡터 y은 이렇게 생겼습니다 본래의 벡터는 노란색으로 보여드리겠습니다 벡터 y는 이렇게 생겼습니다 이게 y입니다 그럼 x 더하기 y는 뭘까요? 그럼 머리에서 꼬리를 더합시다 y를 위로 평행이동 하면 x 더하기 y는 이렇게 생겼을 겁니다 x 더하기 y를 조금 더 깔끔하게 그려보겠습니다 이게 벡터 x 더하기 y일겁니다 그럼 이것의 각도 θ에 희한 회전은 어떻게 생겼을까요? 이것을 각도 θ 만큼 회전해주면 아마 이렇게 생겼을 겁니다 이것은 Rotθ(x+y)일겁니다 그럼 이제 벡터 x 그리고 y를 각각 회전하고 더해주면 Rotθ(x+y)랑 똑같은 보겠습니다 y를 각도 θ 만큼 회전하면 어떻게 될까요? 그럼 y를 각도 θ 만큼 회전하면 아마 이렇게 생겼을 겁니다 이걸 자랑 각도기로 했야 하는데 편의상 이렇게 하겠습니다 아마 이렇게 비슷하게 나올 것 같습니다 y의 각도 θ만큼 회전한 것입니다 이 θ는 이 동영상에서 계속 써오던 θ입니다 다른 색갈로 보여드리겠습니다 x의 회전은 이 벡터입니다 그럼 x의 회전 더하기 y=의 회전은 이렇게 될겁니다 x의 회전 더하기 y의 회전입니다 Rotθ(x)+Rotθ(y)=Rotθ(x+y) 인 것 시각적으로 첫번째 조건은 만족 시킨다는 것을 알 수 있습니다 이 선형변환이 되려면 두번째 조건을 만족해야합니다 이 조건은 각도 θ에 의한 벡터의 스칼라곱 회전은 x의 회전변환의 스칼곱이랑 같아야 합니다 Rotθ(cx)=cRotθ(x) 여기에 다른 시각적 예시를 보여드리죠 이건 세로축입니다 이건 가로축입니다 그리고 이건 벡터 x입니다 그럼 이제 스칼곱한 버전을 그리겠습니다 x의 스칼라곱 버전은 그냥 x벡터랑 비슷하지만 조금 여기까지 더 늘어납니다 이건 cx 벡터입니다 이제 이건 각도 θ만큼 시계 반대 방향으로 회전 시킬 겁니다 아마 이렇게 생길 겁니다 방금 그린 벡터는 Rotθ(cx)입니다 여기 말입니다 자 이제 x를 먼저 회전 시키면 어떻게 될까요? x를 먼저회전 시키면 아마 이렇게 생겼을 겁니다 그래서 이 벡터는 Rotθ(x)입니다. 이제 이 Rotθ(x)를 스칼라곱 할 겁니다 우리는 cRotθ(x)는 Rotθ(cx)랑 똑같다는 걸 적어도 시각적으로 만족한다는 걸 보여드렸습니다 그러므로 이 회전은 분명한 선형변환입니다 이제 수학적으로 이 현상을 정의하겠습니다 그럼 이 변환을 보여줄 행렬을 한번 만들어 보겠습니다 R2에 속한 벡터 x를 R2로 회전변환을 보여드리겠습니다 이 벡터 x는 R2에서 R2로 사상하기 때문에 2×2 행렬로 정의된다 Rotθ(x)는 2×2 A 행렬 곱하기 x다 이렇게 말해드릴 수 있는 이유는 그래프를 이용해 이것이 선형변환이라는 것을 증명해드렸기 때문입니다 그럼 A는 어떻게 찾을까요? R2에서 사상하기 때문에 우리 단위 행렬 1, 0, 0, 1 로 시작할 수 있다 이 열들은 R2의 기저벡터들입니다 첫번째 열을 e1이라고 하고 두번째 열벡터를 e2라고 한다 그리고 A를 알아내려면 본질적으로 이 열들만 변환하면 됩니다 한번 써보겠습니다 행렬 A의 첫번째 열은 e1 벡터 1, 0의 회전변환이다 Rotθ(1,0) 그리고 두번째 열은 e2 벡터 0,1 의 회전변환이다 Rotθ(0,1) 이게 행렬 A입니다 그럼 이것들의 수치화된 해는 어떻게 찾을까요? 그걸 찾기 위해서는 그래프르 하나 더 그리겠습니다 회색으로 그리겠습니다 이건 세로축입니다 이건 가로축입니다 이 축을 x1축 이 축을 x2축이라고 할 수 있습니다 그럼 이 기저 벡터 e1은 어떻게 생겼을까요 가로축 x1에 1 만큼 x2는 0만큼 갑니다 이건 e1 입니다 좀 더 환한색으로 보여드리겠습니다 이게 e1입니다 e2도 보여드리겠습니다 e2는 노란색으로 보여드리겠습니다 e2는 벡터 0,1이니 이렇게 생겼을 겁니다 x2만큼1 갑니다 자 이제 e1을 각도 θ만큼 회전 시키면 어떻게 생겼을까요? e1을 각도 θ만큼 회전 시키면 크기는 그대로 1이고 하지만 이렇게 시계 반대 방향으로 각도 θ만큼 회전합니다 이건 각도 θ에 대한 e1의 회전입니다 이건 모두 벡터입니다 그럼 좌표들은 어떻게 될까요? 새로운 벡터를 어떻게 표현할까요? 삼각함수를 사용해서 새로운 벡터를 표현할 수 있습니다 이 새로운 x1 좌표또는 성분은 이 길이입니다 그럼 한번 직각을 그리겠습니다 이건 θ에 인접변입니다 이 빗변은 길이가 1입니다 그럼 이 변을 어떻게 구할까요? 이 변을 인접한변이면 빗변분에 인접한변으로 표현할 수 있다 하번 써 보겠습니다 빗변분에 인접변은 cos(θ) 입니다 빗변은 1입니다 삼각함수의 법칙에 따라 cos(θ)= 인접변/빗변 입니다. x1의 좌표는 인접변입니다 그럼 아까 만든 삼각함수식으로 x1의 좌표를 찾을 수 있습니다 빗변이 1이기 때문에 이 변은 cos(θ)입니다 그러므로 새로운 벡터의 가로성분 또는 좌표는 cos(θ)입니다 그럼 이 세로성분은 뭘까요? 이 세로성분 x2는 이 높이입니다 이 높이랑 똑같겠죠? 이 높이는 sin(θ)를 사용해서 찾겠습니다 sin(θ)= 대변/빗변입니다 빗변은 1이므로 그럼 대변은 sin(θ)라는 걸 우리 삼각함수의 법칙으로 알 수 있습니다 그러므로 가로 성분은 sin(θ)입니다 그럼 새롭게 회전된 기저 벡터 e1의 x성분 아니면 가로 성분 cos(θ)입니다 sin(θ)는 세로 성분입니다 Rotθ(e1)=(cos(θ), sin(θ))는 새롭게 회전된 기저벡터입니다 그럼 e2는 어떻게 될까요? e2도 e1과 비슷합니다 e2를 각도 θ 만큼 회전하면 이렇게 생길 겁니다 이렇게 말입니다 이 각도가 θ입니다 여기에 조금만한 직각삼각형을 만들 수 있습니다 각도 θ에 의해 회전된 e2 Rotθ(e2) 를 구하고 싶은 겁니다 이것말입니다 그럼 이건 뭘까요? 새로운 x1 좌표를 구하려면 이 길이입니다 그러니까 x1 좌표는 이 삼각형의 이 길이입니다 x 성분의 좌표는 이 길이의 음수입니다 이 길이가 2락면 x1 좌표는 -2 그래서 이것의 진짜 길이는 뭘까요? 여기 각도 θ가 있습니다 이 삼각형은 직각삼각형입니다 이건 변은 θ에 대한 대변입니다 그러므로 삼각함수 법칙을 이용하면 cos(θ)=대변/빗변. 빗변은 1이므로 대변은 cos(θ)입니다 죄송합니다. 제가 실수를 했습니다 삼각함수 법칙을 잘 못 썼네요 이건 대변이닌 sine을 써야합니다 그러므로 sin(θ)=대변/빗변입니다 각도 θ에 대해 sin(θ)=대변/빗변입니다 이것 변들은 표준 기저 벡터이니 빗변은 1입니다 그러므로 sin(θ)=대변 이 길이는 이제 sin(θ)이지만 방향성을 고려하면 -sin(θ)입니다 그럼 Rotθ(e2)의 새로운 y 성분은 뭘까요? 여기를 보겠습니다 여기 각도가 있습니다 이건 이 각도에 대한 인접변입니다 그러므로 인접변/빗변은 빗변이 1이므로 cos(θ)=인접변입니다 그러므로 새로 y 좌표는 cos(θ)입니다 그러므로 기저 벡터에 변환을 적용하면 A는 첫번째 열에 e1의 변환은 cos(θ), sin(θ) 이고 두번째 열에 e2의 변환은 -sin(θ), cos(θ)입니다 이건 좋은 결과입니다 이제 수학적으로 회전변환을 행렬로 표현했습니다 이제 R2에서 R2로 사상하는 각도 θ에 대한 정의역에 있는 아무 벡터 x는 벡터회전변환은 행렬 [cos(θ), sin(θ), -sin(θ), cos(θ)] 곱하기 정의역에 있는 x1, x2로 표현할 수 있습니다 당신은 제게 이걸 어떻게 응용하냐고 물어볼 수 있습니다 삼각함수들로 뭘 할 수 있는지 물어보실 수 있습니다 우리가 구한 식을 쓰는 방법은 회전각을 정하고 이 식에 적용하면 성분들이 모두 숫자인 행렬을 얻는다 예를 들어 회전각을 45 ˚ 로 설정하고 벡터를 회전 시킨다고 가정합시다 이게 뭘까요? 우리가 찾은 Rotθ(x) 식에 적용하면 답을 찾을 수 있습니다 cos(45 ˚)는 √2/2 입니다 sin(45 ˚)는 √2/2 입니다 sin(45 ˚)는 √2/2 입니다 마이너스가 앞에 있으니까 -√2/2 입니다 그리고 마지막으로 cos(45 ˚)는 √2/2 입니다 이걸 이제 벡터 x랑 곱하며 됩니다 그래서 이 행렬 곱하기 임의의 x벡터로 나타낼 수 있습니다 여기에 몇개의 좌표들이 있다고 할게요 정사각형을 만드는 몇개의 벡터들을 그리겠습니다 잘 그릴 수 있는지 한번 보겠습니다 더 그리기 쉽게 정사각형말고 삼각형으로 바꾸겠습니다 아닙니다 그냥 정사각형 그리겠습니다 정의역 R2에 정사각형이 있다고 가정합시다 이 정사각형을 만드는 벡터들을 기저 벡터들이랑 곱하면 45 ˚ 각도로 변환된 정사각형을 만듭니다 회전된 정사각형 보여드리기 위해서 45 ˚각도를 여기 그리겠습니다 이 정사각형을 45 ˚각도로 회전 시키면 이렇게 됩니다 만약 구술 또는 공 움직이는 컴퓨터 게임을 만들게 되신다면 이 동영상에서 배운 회전변환은 매우 유용할 겁니다 다음 동영상들에서는 다른 변환들에 대해서 더 말씀드리도록 하겠습니다 오늘 우리가 배운 회전변환은 엄청 유용하지만 엄청 쓰기 어렵습니다 제가 처음 컴퓨터 프로그램을 만들 때 이걸 다 손으로 했습니다 하지만 이 회전변환이라는 도구가 있다면 원하는 각도에 이 행렬의 값들을 구하고 그걸 위치벡터랑 곱하면 됩니다 여기는 당연히 많은 위치 벡터들이 있습니다 근데 여기는 그냥 꼭지점들만 곱하면 됩니다 그 다음에 점들을 연결하면 됩니다 그럼 회전된 상이 있을 겁니다 이 점들은 벡터 집합들로 지정된 점들입니다. 이건 항상 명확하게 해야합니다 이 점은 이렇게 생긴 위치벡터로 지정됐다 벡터를 45 ˚각도로 회전 시키면 그 벡터는 이렇게 생겼을 겁니다 이 꼭지점을 지정한 벡터입니다 다른 색갈로 보여드리겠습니다 이 45 ˚각도로 회전 시키면 이 벡터가 됩니다 이 꼭지점을 지정한 벡터를 회전 후 이렇게 됩니다 이게 진짜 사상되거나 변환되는 것들입니다 이게 알아듣기 쉬웠으면 좋겠네요 제 생각엔 이 변환은 아주 깔끔했습니다 이제 이걸 어떻게 하면 다른 차원들에서 적용할 수 있는지 생각하실 수 있습니다 만약 이걸 손으로 하면 정말 어렵고 헷갈립니다 다음 동영상에 이 동영상에서 했던 걸 3차원에서에서도 할 수 있다는 걸 보여드리겠습니다