단위벡터

아주 오래전에 벡터 길이라는 개념을 배웠습니다 아주 오래전에 벡터 길이라는 개념을 배웠습니다 그런데 한 가지 중요한 주제를 빠뜨린 것 같습니다 이번 주제는 여러가지 형태의 변환을 할 때 유용할 것입니다 투영은 다음 시간에 할게요 빠뜨린 개념은 바로 단위벡터입니다 단위벡터입니다 단위벡터는 길이가 1인 벡터를 의미합니다 길이를 정의했습니다 길이가 1입니다 따라서 u가 단위벡터이고 Rⁿ의 원소라고 합시다 Rⁿ의 원소라고 합시다 이 말은 u가 있으면 u1부터 un까지 n개의 원소를 가지고 있다는 의미입니다 이 길이를 알 수 있죠 u의 길이, 혹은 u의 노름은 각 성분의 제곱의 합의 제곱근이라는 것을 알 수 있습니다 여기서 생각해보면 이는 피타고라스의 정리의 확장이라고 할 수 있죠 그래서 u1² + u2² + ... + un² 에 제곱근을 취합니다 만약 이것이 단위벡터라면 u의 길이는 1입니다 u의 길이는 1입니다 몇 차원의 공간에 있는지는 관계가 없습니다 이것은 R^100일 수도 있고 R²일 수도 있습니다 단위벡터가 그 중 어떤 공간에 있어도 그 길이는 1입니다 다음 질문입니다 어떻게 단위벡터를 만드나요? 여기 v라는 벡터가 있다고 가정합시다 v는 단위벡터가 아닙니다 v = [v1 v2 ... vn] 입니다 이 벡터를 단위벡터인 벡터 u로 바꾸고 싶어요 이 둘의 방향은 같습니다 u는 v와 같은 방향이지만 u의 길이는 1입니다 어떻게 벡터 u를 만들죠? 이렇게 할 수 있습니다 벡터 v의 길이를 구합니다 v의 길이를 찾아야 해요 어떻게 구하는지 알죠 벡터 길이 개념을 적용합니다 만약 v의 길이를 벡터 v에 곱하면 어떻게 될까요? u를 v/(∥v∥) 라고 하면 어떻게 되죠? u를 v/(∥v∥) 라고 하면 어떻게 되죠? 여기서 어떤 일이 발생하나요? 이 길이를 구하면 무엇이 나오나요? u의 길이는 이 스칼라의 길이와 같습니다 이것은 그냥 수라는 것을 기억하세요 이것은 이 스칼라와 같고 v는 영벡터가 아니라고 가정합니다 여기 스칼라의 길이가 무엇이든 v를 곱합니다 그리고 이 스칼라를 공식을 이용하여 구할 수 있죠 예전 강의에서 했어요 cv의 길이는 c와 v의 길이의 곱과 같습니다 여기 적어볼게요 여기서 무엇을 가정하는지는 필수적입니다 c와 어떤 벡터 v를 곱한 것의 길이는 c에 v의 길이를 곱한 것과 같습니다 길이의 개념을 처음 소개했을 때 다루었던 것 같습니다 따라서 이것은 1/∥v∥와 따라서 이것은 1/∥v∥와 ∥v∥의 곱입니다 ∥v∥의 곱입니다 그러면 이것은 무엇일까요? 어떤 수와 어떤 수의 역수의 곱 그럼 1이 되겠죠 이것이 단위벡터에 대한 모든 것입니다 벡터 v와 같은 방향인 종종 정규화된 벡터라고도 부르는 단위벡터를 찾고 싶다면 Rⁿ의 벡터 길이의 정의를 이용하여 v의 길이를 알 수 있습니다 v/∥v∥ 를 계산하면 v/∥v∥ 를 계산하면 벡터 u를 구할 수 있습니다 확실히 이해가 되도록 예시를 들어보죠 확실히 이해가 되도록 예시를 들어보죠 R³상의 벡터 v가 있다고 합시다 [1 2 -1]이라고 합시다 v의 길이는 무엇일까요? v의 길이는 √(1²+2²+(-1)²) = √(1+4+1) 즉, √6입니다 그것이 v의 길이입니다 만약 벡터 v와 방향이 같은 정규화된 벡터 u를 만들고자 한다면 벡터 u는 1/∥v∥ 즉, 1/√6 과 v의 곱이라고 할 수 있습니다 즉, 1/√6 과 v의 곱이라고 할 수 있습니다 따라서 [1 2 -1]을 곱합니다 그것은 [1/√6, 2/√6, -1/√6] 입니다 그것은 [1/√6, 2/√6, -1/√6] 입니다 u의 길이가 1이라는 것은 여러분이 직접 확인해 보세요 자주 사용하게 될 다른 아이디어를 설명하겠습니다 단위벡터의 경우 벡터 위의 이 작은 화살표 대신 위에 이런 모양의 표시를 한 단위벡터를 자주 사용합니다 이것은 단위벡터를 의미합니다 만약 벡터 해석이나 공학을 배운적이 있다면 벡터 i, j, k에 익숙할 것입니다 위에 이런 모양의 표시를 한 이유는 모두 R³의 벡터이기 때문입니다 이것들은 R³의 원소이고 모두 단위벡터입니다 이들이 R³의 기저벡터입니다 변환과 관련된 강의를 본 적이 있다면 이들은 벡터 e1, e2, e3와 같습니다 벡터 위에 작은 모자를 씌워주고요 벡터 위에 작은 모자를 씌워주고요 이들은 즉 R³의 표준 기저벡터입니다 이제 위의 개념들을 익혔으니 앞으로 자주 이용할 것입니다