고유기저와 좌표계

고유벡터가 좋은 기저, 혹은 좋은 기저벡터를 만들 수 있다는 점을 여러 번 이야기했습니다 이를 더 살펴볼 것입니다 어떤 변환이 있다고 해 봅시다 Rn에서 Rn으로 사상하는 변환이고 행렬 A로 나타낼 수 있다고 합시다 x의 변환이 n x n 행렬 A와의 곱인 Ax로 나타날 수 있게요 이제 n개의 선형독립인 A의 고유벡터가 있다고 합시다 늘 그런 건 아니지만 대개 그렇습니다 확실히 가능합니다 A가 n개의 선형독립인 고유벡터를 지닌다고 가정합시다 이들을 v1, v2, ...vn이라고 할 것입니다 n개의 선형독립인 Rn 내의 벡터들이 Rn의 기저가 될 수 있습니다 여러 번 다룬 내용입니다 이 동영상에서 보이고자 하는 것은 이 벡터들이 이 변환에 대한 특히 좋은 기저가 된다는 것입니다 한번 알아봅시다 그래서 이 각각의 벡터들의 변환은 여기 적겠습니다 벡터 v1의 변환은 A와 v1의 곱이고 벡터 v1이 A의 고유벡터이므로 이는 어떤 고윳값 λ1과 벡터 v1의 곱과 같습니다 나머지에 대해서도 마찬가지로 진행할 수 있습니다 벡터 v2의 변환은 Av2인데 이는 어떤 고윳값 λ2와 v2의 곱과 같습니다 그래서 이들을 생략하고 n번째 벡터를 다루겠습니다 n개의 고유벡터가 있습니다 더 있을 수도 있고요 A가 최소한 n개의 선형독립인 고유벡터를 지닌다고 가정했습니다 일반적으로 이 벡터들의 배수를 택하더라도 고유벡터가 됩니다 어디 봅시다 vn의 변환은 A 곱하기 vn이 됩니다 그리고 이들이 모두 고유벡터이므로, A 곱하기 vn은 λn, 어떤 고윳값과 벡터 vn의 곱이 됩니다 이는 무엇과 같은가요? 이 식이 무엇과 같냐 하면 아주 명백해 보일 수도 있겠지만 이 식은 λ1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2 더하기 ... 0 곱하기 vn과 같습니다 여기 이 식은 0 곱하기 v1 더하기 λ2 곱하기 v2 더하기 0 곱하기 나머지 모든 벡터들이 됩니다 여기 맨 아래의 식은, 이 식은 0 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2 더하기 0 곱하기 이들 기저벡터 혹은 고유벡터가 되지만 마지막에 λn 곱하기 vn이 됩니다 놀랄 만큼 명백합니다. 맞나요? 우변을 좌변과 영벡터들의 합으로 다시 나타내었습니다 이런 식으로 나타낸 이유는 이제 이들을 기저로 사용하여 이 기저들을 기준으로 한 좌표를 구할 것이기 때문입니다 그래서 이 식의 좌표는 λ1, 0, ..., 0이 됩니다 기저벡터의 계수이기 때문입니다 한번 해 보겠습니다 이를 일종의 기저로 정의한다고 해 봅시다 따라서 B는 어떤 집합이냐 하면 이렇게 쓸 필요도 없겠군요 어떤 B가, 어떤 기저 B가 이와 같다고 합시다 이제 보이고자 하는 것은 기저변환을 통해서 언제 했던 내용입니다 표준 좌표, 혹은 표준기저로 나타낸 좌표에서 Rn 내의 어떤 벡터가 있습니다 A를 여기에 곱하면 벡터의 변환을 얻게 됩니다 이 또한 Rn 내에 있을 것입니다 여기 기저변환을 가할 수 있습니다 그리고 기저변환을 가하기 위해서는 C의 역행렬을 곱해줘야 하는데 기저변환행렬 C는 이쪽 방향으로 가고자 할 때 C를 곱해 줍니다 기저변환행렬은 이 벡터들을 열로 갖는 행렬입니다 만들기 매우 쉽습니다 기저를 x에서 새로운 기저로 바꾸려면 C의 역행렬로 곱해줍니다 여러 번 다룬 내용입니다 이들이 모두 직교한다면 역행렬은 전치행렬과 같겠네요 그러나 이렇게 가정할 수는 없습니다 어쨌건 새로운 기저에서의 x가 됩니다 그리고 어떤 변환을 찾는다고 할 때 새로운 기저에 대한 변환행렬 T를 찾는다고 할 때 이는 어떤 행렬 D가 됩니다 그리고 D와 x를 곱하면 이 값을 얻게 되는데 이 값을 B로 나타낸 값입니다 x를 변환하여 B로 나타낸 값을 얻습니다 그리고 이들 사이에서 값을 바꾸고 싶다면 이쪽으로 갈 때에는 C에 이 값을 곱하여 x의 변환을 얻을 수 있습니다 그리고 반대 방행으로 가고 싶다면 기저변환행렬의 역행렬을 곱하면 됩니다 여러 번 다룬 내용입니다 하지만 앞서 이야기했거나 암시했던 내용은 만일 A의 고유벡터들로 정의된 기저가 있다면 이 행렬이 유용한 형태로 나와 이러한 기저로 이루어진 좌표계에서 계산을 진행하고 싶을 것입니다 특히 이 행렬을 많이 사용한다면요 만약 이 변환을 여러 가지 것들에 진행해야 한다면 내지는 여러 차례 반복해서 진행해야 한다면 기저변환을 진행하는 것이 나은 선택일 수 있습니다 실제로 보기 좋고 계산하기 쉬운 대각선행렬이 얻어지는지 봅시다 그래서 우리는 변환이 무엇의 변환이냐 하면 서로 다른 형태로 써 보겠습니다 아래로 내려가서 쓰겠습니다 B 좌표로 나타낸 v1의 변환은 어떻게 될까요? 이 값은, 이들은 기저벡터입니다 맞나요? 따라서 기저벡터의 계수가 됩니다 그래서 λ1이 되고 그러고 나서 0들이 많이 있습니다 λ1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2 더하기 0 곱하기 v3 ... 0 곱하기 vn입니다 변환을 계산한 값입니다 D와도 같아서 D를 이런 형태로 쓸 수 있습니다 D 또한 Rn에서 Rn으로의 변환입니다 단지 좌표계가 다를 뿐입니다 그래서 D는 여러 열벡터, d1 d2, ...dn 곱하기 이는 D와 벡터 v1을 B로 나타낸 것의 곱과 같습니다 벡터 v1을 B로 나타내면 어떻게 되나요? 벡터 v1은 1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2 더하기 0 곱하기 v3, ... 0 곱하기 vn입니다 v1은 기저벡터입니다 그 자신에게 1을 곱하고 나머지에 전부 0을 곱한 것입니다 B 좌표계에서 이를 표현한 것입니다 그래서 이를 계산하면 어떻게 되나요? 전에 이를 다루었습니다 일종의 복습입니다 심지어 지루할지도 모르겠네요 이는 1 곱하기 d1 더하기 0 곱하기 d2 더하기 0 곱하기 나머지 모든 열들이 됩니다 그래서 d1이 됩니다 그렇게 행렬 D의 첫 열을 구했습니다 마찬가지로 진행합니다 여러 차례 진행할 것입니다 v2를 새로운 기저에 대한 새 좌표계로 나타낸 것은 v2의 변환이 무엇인지 아실 겁니다 0 곱하기 v1 더하기 λ2 곱하기 v2 더하기 0 곱하기 나머지 전부입니다 이는 D, d1, d2, ...dn과 B로 나타낸 v2의 곱과 같습니다 v2는 기저벡터 중 하나입니다 0 곱하기 v1 더하기 1 곱하기 v2 더하기 0 곱하기 v3 더하기, 나머지는 0들입니다 그래서 어떤 값이 나오나요? 0 곱하기 d1 더하기 1 곱하기 d2 더하기 0 곱하기 나머지를 얻는데, 그래서 d2가 됩니다 대략적인 원리는 이해했을 겁니다 확실하게 하기 위해 한 번만 더 다루고 넘어가겠습니다 n번째 기저벡터의 변환은 표준좌표로 나타낸 원래의 행렬 A의 고유벡터이기도 한 기저벡터인데 이러한 변환을 B로 나타내면 어떻게 되나요? 여기 위에 써 두었지요 0들이 여럿 나옵니다 0 곱하기 이들 모두, 더하기 λn 곱하기 vn입니다 그래서 이는 d1, d2, ...dn 곱하기 n번째 기저벡터를 B로 나타낸 것인데 그래서 0 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2 더하기 0 곱하기 나머지 전부인데 마지막 항만이 1 곱하기 vn입니다 그래서 이는 0 곱하기 d1 더하기 0 곱하기 d2 더하기 0 곱하기 나머지 전부 더하기 1 곱하기 vn이 됩니다 dn이 될 것입니다 그래서 이로부터 새로운 기저에 대한 변환행렬이 어떻게 생겼을지 알 수 있습니다 기저는 n개의 선형독립인 고유벡터로 정의되며 행렬 A의 고유벡터였습니다 그래서 D는 어떤 형태일까요? 행렬 D는, 첫 번째 열은 여기 있습니다 이를 알아냈었지요 λ1, 그리고 나머지 0들을 가지고 있습니다 두 번째 열은 여기 있습니다 d2는 이와 같습니다 0, λ2, 그리고 나머지는 다 0입니다 일반적으로 이런 규칙을 갖습니다 n번째 열은 대각선을 제외하고는 모두 0을 갖습니다 대각선 성분은 λn이 됩니다 n번째 고유벡터의 고유값이 됩니다 그래서 대각선을 따라 λ3이 있고, 내려가다 보면 λn까지 있게 됩니다 그리고 n번째 열은 나머지가 전부 0이고요 그래서 D를 골랐을 때, 흥미로운 결과를 얻습니다 A가 n개의 선형독립인 고유벡터를 가지고 있다면 항상 그렇지는 않지만 선형독립인 고유벡터를 n개 찾아 Rn의 기저를 만들 수 있습니다 Rn의 n개의 선형독립인 벡터는 Rn의 기저가 됩니다 그러나 이 기저를 사용할 때 A의 선형독립인 고유벡터를 기저로 사용할 때 이를 고유기저라고 합니다 고유기저로 나타낸 변환행렬은 아주 유용합니다 곱하기가 아주 쉽습니다 역행렬도 쉽게 구할 수 있고요 행렬식도 쉽게 찾을 수 있습니다 여러 차례 보았습니다 여러 흥미로운 성질들을 지니고 있습니다 다루기 좋은 기저입니다 중요한 내용을 다루었습니다 모든 선형대수학에서 공간과 벡터 등의 여러 것들을 다루지만 이들을 대체로 실제 세계를 추상적으로 나타낸 것들입니다 주식수익률을 벡터로 나타낼 수도 있고 특정 지역의 날씨를 벡터로 나타낼 수도 있습니다 차원의 수에 따라 공간을 만들 수도 있습니다 그러고 나서 변환을 가합니다 예를 들어 마르코프 연쇄에 대해 배우고 나서 변환은 어떤 상태에서 한 차례 변화할 때의 확률이 되며 안정적인 상태를 알아보고자 할 때 행렬을 무수히 많이 가해야 여러 가지 것들의 안정한 상태를 알 수 있습니다 이들을 상세히 설명하지는 않았지만 선형대수학이란 여러 문제들을 풀 수 있는 아주 일반적인 방식이라는 것을 말하고 싶었습니다 이러한 함수들을 데이터 세트의 변환행렬로 정의할 수 있어 유용합니다 오늘 배운 내용은 고유벡터와 고유값을 통해 기저를 변환시켜서 문제들을 더 간단하게 풀 수 있다는 것이었습니다 아직 매우 추상적이라는 것을 알지만 이제 선형대수학이라는 도구를 얻었으니 앞으로는 이 도구를 확률이나 통계, 재정 혹은 날씨의 모델링 등의 특정한 문제에 사용하는 법을 배워야 할 것입니다