고유값과 고유벡터란?

R^n(n차원 유클리드 공간)에서 R^n으로 매핑하는 변환에 대해서 간접적으로긴 하지만 이러한 변환들에 의해 크기만 바뀌는 벡터들을 찾는 일은 매우 흥미로웠습니다 즉, 그 벡터들이 변환되는 방식은 그 벡터를 변환해 얻은 새로운 벡터가 원래 벡터의 단순한 상수배와 같아지는 형태였죠 만약 이게 익숙하지 않다면, 여러분들의 기억을 잠시 환기시켜보죠 우리가 변환을 나타내기 위해 기저벡터를 찾으려 할 때 (한 번 그림을 그려볼게요) R^2에서 R^2로 보내지는 거였어요 2차원 좌표공간(R^2)을 여기에 그려봅시다 제가 벡터를, 벡터 v1을 벡터 [1, 2]로 놓았다 해봅시다 그리고 그 벡터가 생성하는 직선이 있었죠 이 문제를 얼마 전 비디오에서 다루었을 겁니다 그리고 이 직선을 기준으로 대칭이동시키는 변환이 있었습니다 우리가 그 직선을 (소문자) l이라 부르기로 하면요 T가 바로 R^2에서 R^2로 가는 변환이었습니다 이 직선을 기준으로 벡터들을 대칭이동시키는 변환이였죠 그래서 이 변환은 대칭이동...... l을 기준으로 벡터들을 대칭이동시켰죠. 만약 여러분이 그 변환을 기억한다면 이렇게 제가 골랐던 임의의 벡터를 x라고 불러봅시다 저게 벡터 x입니다. 그렇다면 x가 변환된 모습은 대충 이렇습니다 그냥 그 선을 기준으로 대칭이동되었죠 그게 x의 변환이었습니다 그리고 만약 여러분들이 그 동영상을 기억하신다면 우리는 기저변환을 찾고 있었습니다 우리가 최소한 그 변환을 표현하는 다른 기저에서의 행렬이라도 찾을 수 있게 하는 변환이었죠 그러고 나면 우리는 표준 기저 ([1,0], [0,1])에서 그 변환을 표현하는 행렬을 찾을 수 있었습니다 그리고 우리가 선택했던 기저들은 그 변환에 의해 그렇게 크게 변환되지는 않는 기저벡터들이었습니다 또는 그 변환에 의해선 오직 크기만 바뀌는 벡터들이었죠 예를 들어서 제가 v1을 변환시켰을 때, 결과는 그냥 v1이었습니다 약간 다르게 말해보자면 v1을 변환하면 1*v1을 얻는다 말할 수 있죠 그러니 여러분이 제가 (칠판 왼쪽 위에) 적어놓은 형태를 따르려 한다면 람다(λ)는 이 경우엔 1이 될 겁니다 그리고 이 경우에선 당연히 그 벡터는 v1이 되겠죠 이 변환은 v1에 그저 1을 곱하기만 했습니다 똑같은 문제에서 우리는 다른 한 벡터를 더 살펴보았습니다 그건 벡터...... 그건 벡터......마이너스([-)......그걸 벡터 v2였다 해봅시다 그게...... [2, -1]이었다 해 봅시다 그러면 만약 여러분이 그 벡터를 변환시킨다면 그 벡터가 직선에 수직이었으니 그 벡터는 단순히 이렇게 대칭되게 됩니다 그리고 그 벡터도 상당히 흥미로운 벡터였죠 왜냐하면 여기에서 v2가 변환된 결과는 무엇이랑 같았죠? 그냥 -v2입니다 그냥 -v2랑 같아요 약간 다르게 말해보자면, v2을 변환하면 -1*v2가 나온다 말할 수 있죠 그리고 이것들은 우리에게 매우 흥미로운 벡터였습니다 왜냐하면 우리들이 이 벡터들을 기저벡터로 하는 기저를 새롭게 정의했을 때 우리가 찾는 변환 행렬을 찾기 매우 쉬웠기 때문이죠 그리고 사실 그 기저를 이용해 계산하기 매우 편했습니다 조금 있다 더 살펴보기로 하죠 하지만 여러분들이 이런 벡터들은 매우 흥미롭다는 걸 깨달으셨으면 합니다 또 우리가 몇개의 벡터로 생성된 평면을 다룬 적도 있었습니다 그리고 또 다른 평면에서 튀어나오는 벡터도 있었습니다 이렇게요 그리고 우린 여러 가지(수학적 대상)들을 이 평면에 대해 대칭이동시키는 식으로 변환하고 있었고요 그리고 우린 생각했었죠 '어, 저 변환에선 이 빨간 벡터들은 전혀 변하지도 않고' '이 친구(초록색 벡터)는 반대로 뒤집어지기만 하네' '그러니 어쩌면 얘네들이 좋은 기저가 될 수 있겠다' '아니면 이 벡터들이 좋은 기저 벡터들이 되겠네' 하고요 그리고 실제로 그랬어요! 그래서 일반적으로 우리는 항상 변환시켰을 때 크기만 변하는(실수만 곱해지는) 벡터들을 찾습니다 모든 벡터들이 그런 건 아니겠죠? 제가 여기 그려 놓은 이 벡터는요, 이 x란 벡터는 크기만 변하지 않죠, 그건......그건 실제로 변합니다 이 방향이 변화합니다 그 방햐--그러니까 크기가 변화하는 벡터들이 방향을 바꾸--그러니까 이 쪽에서 저 쪽으로 갈 수도 있고 어쩌면 저 쪽에서 출발할 지도 모르죠 어쩌면 저게 x고 그러면 이 x라는 친구를 변환한 결과가 x의 크기만 변화한 버전일 수도 있죠 저것일 수도 있습니다 하지만 실제로-- 그, 그 실제--제 생각에는--그 친구들이 생성할 직선은 변하지 않습니다 그래서 우린 이런 친구들(벡터들)을 생각해 줄 겁니다 이 친구들에겐 특별한 이름이 있어요 그리고, 그들에겐 특별한 이름이 있다는 걸 꼭 기억해 주셨으면 합니다 왜냐하면 그들은 유용하니까요 절대로 그냥 의미 없는 숫자놀음을 하자는 건 아니에요 가끔 가다가 그렇다고 착각할 때도 있지만요 어쨌든 그 친구들은 유용해요 그것들은 기저를 정의하기에 좋습니다 그렇게 정의한 기저들에선 변환을 나타내는 행렬을 찾기가 좀 더 쉽기 때문이죠 그 기저들은 좀 더 '자연스러운' 좌표계들입니다 그리고 보통 이런 기저들로 표현된 변환 행렬들을 쓰면 계산하기가 더 쉽습니다 그래서 이 친구들에겐 특별한 이름이 있어요 여기 이 관계식(T(v)=λv)을 따르는 벡터들을 변환 T에 대한 고유벡터(eigenvector)라 부릅니다 그리고 그 고유벡터에 곱해지는 람다(λ)--이걸 우리는 고유벡터(v)에 대응되는 고유값(eigenvalue)이라 합니다 그러니까 제가 든 예시에서 변환이 이 직선 l을 기준으로 하는 대칭이동일 때, v1, 그러니 벡터 [1,2]는 우리의 변환의 한 고유벡터입니다 [1,2]는 (대칭이동 변환의)고유벡터죠 그리고 그것에 대응되는 고유값은 1입니다 이 친구도 (대칭이동 변환의)고유벡터에요--벡터 [2,-1] 말이에요 이 친구도 고유벡터죠 많이 고급진 단어지만, 사실 그냥 변환에 의해 크기만 변화하는 벡터를 말해요 (고유벡터는) 곱해지는 실수배 이외에는 다른 의미있는 변화가 일어나진 않습니다 그리고 그 벡터에 대응되는 고유값은 -1이에요 만약 이 변환이--이 변환 행렬이 뭔 지는 저도 잘 몰라요 잊어버렸군요 얼마 전에 찾아냈었는데 말이죠 만약 이 변환 행렬이 행렬과 벡터의 곱으로 표현될 수 있다면 그 변환은 선형 변환이죠 T(v)=λv 이것들은 또한 A의 고유 벡터라고도 불리는데 A가 변환의 행렬 표현 이기 때문이다 그래서 이 상황에서는, 이 벡터가 A의 고유벡터가 되고 이게 그 고유벡터에 대한 고윳값이 되겠죠 그래서 만약 선형변환을 표현하는 행렬이 주어진다면 이것들을 추론할 수 있습니다. 이제 다음 비디오에서 어떻게 이것들을 추론하는지 배울 것입니다. 하지만 제가 이 비디오에서 강조하고 싶은 것은 오 이 벡터들이 많이 변하지는 않는구나 라고 말하는 건 쉽죠 하지만 이게 정말 무엇을 뜻하는 건지 이해하면 좋겠어요 말 그대로 이 벡터는 크기만 바뀌거나 방향만 뒤집히게 됩니다 그 벡터들의 방향이나 이들이 생성하는 직선은 근본적으로 바뀌지 않습니다 그리고 그 벡터들이 흥미로운 이유는 흥미로운 이유들 중 하나는 이들이 독특한 기저벡터를 이루기 때문입니다 변환을 나타내는 행렬이 계산하기에 간단해지는 다르게 말하면 더 좋은 좌표계를 이루는 기저벡터를 말이죠