고유값을 결정하는 식 증명

어떤 변환 T가 있는데 이는 Rn에서 Rn으로 사상하는 변환이며 행렬 A로 나타낼 수 있습니다 그래서 x의 변환은 Ax입니다 저번 동영상에서 변환에 의해 확대되거나 축소되는 벡터들을 흥미롭게 구하였습니다 어떤 벡터 v에 대해 v의 변환을 취하면 Av가 됩니다 변환을 통해 어떤 계수 λ만큼 곱해진 λv가 된다고 합시다 흥미로운 기저 벡터를 만들기 때문에 흥미롭습니다 다른 기저로 나타낸 변환행렬에서 이는 기저벡터의 일부입니다 계산이 더 쉬울 수도 있습니다 좋은 좌표계를 만들 수도 있고요 그러나 이들은 일반적으로 흥미롭습니다 그리고 이를 만족하는 벡터 v를 고유벡터라고 합니다 그리고 이러한 계수를 고유값이라고 합니다 이러한 변환과 고유벡터와 연관된 고유값입니다 저번 동영상에서 왜 이들이 유용한지 간단하게 살펴보았습니다 이번 동영상에서는 이들을 구하는 방법에 대해 알아볼 것입니다 지금까지 다룬 내용에서는 고유벡터가 있을 때 고유벡터가 고유벡터인 것을 보이거나 고유값을 찾을 수 있었습니다 이를 증명할 수 있었습니다 그러나 고유벡터나 고유값을 구하는 체계적인 방법은 알지 못합니다 무언가를 떠올릴 수 있을지 보겠습니다 일반적으로 방정식 Av=λv를 만족하는 해를 구해야 합니다 λv를 만족해야 합니다 우선 한 가지 해가 바로 보입니다 v가 영벡터인 경우입니다 이는 확실히 방정식을 만족하지만 보통 고유벡터라고 하지 않습니다 유용한 기저벡터가 아니기 때문입니다 기저에 어떤 것도 추가하지 못합니다 이를 넣는다고 해서 부분공간을 생성하는 기저벡터의 수가 늘지 않습니다 그리고 이와 연관된 고유값도 명확하지 않습니다 v가 0이라면 모든 고유값이 식을 만족하기 때문입니다 그래서 일반적으로 고유벡터를 찾을 때에는 영벡터가 아닌 값을 찾는다는 가정에서 시작합니다 그래서 영벡터가 아닌 벡터를 찾고자 합니다 그래서 이 방정식을 조금 변형하여 고유값을 찾을 수 있는지 보도록 하겠습니다 양변에서 Av를 빼면 0=λv-Av가 됩니다 또한 v를 단위행렬과 v의 곱으로 쓸 수 있습니다. 맞나요? v는 Rn의 원소입니다 단위행렬은 n x n의 크기이고요 그래서 이들을 곱하면 v를 다시 얻게 됩니다 v를 이렇게 나타내면 그리고 변을 바꾸어 나타내겠습니다 이제 v대신 λIn 곱하기 n x n 단위행렬 곱하기 v 빼기 Av가 영벡터와 같다는 식을 얻습니다 이제 어떤 행렬과 v의 곱에서 다른 행렬과 v의 곱을 뺀 값을 얻습니다 행렬 벡터 곱은 분배법칙이 성립합니다 따라서 이는 (λIn-A)v=0이 됩니다 우항은 0과 같습니다. 맞나요? 이는 어떤 행렬입니다 v를 이런 식으로 나타낸 이유는 이를 행렬 벡터 곱으로 나타내기 위함입니다 스칼라 벡터 곱 대신에 말입니다 이를 통해 v를 제외한 나머지를 묶어 어떤 행렬 벡터 곱이 0과 같다는 식을 얻어낼 수 있었습니다 이제 이를 가정하고 v가 0이 아니라고 가정합시다 이는 어떤 의미인가요? v가 이 행렬의 영공간의 원소라는 뜻입니다 한번 적어 보겠습니다 v는 λIn-A의 영공간의 원소입니다 약간 복잡해 보일 수 있지만 이를 어떤 행렬 B라고 합시다 더 간단할 것입니다 이는 단지 하나의 행렬일 뿐입니다 이는 B입니다 B로 치환해서 쓰겠습니다 그렇다면 이 방정식은 Bv=0이 됩니다 이 행렬의 영공간 B의 영공간은 Rn의 원소인 모든 벡터 x 중에서 Bx=0을 만족하는 것들입니다 v는 이들 중 하나입니다. 맞나요? 왜냐하면 Bv=0이기 때문입니다 B가 이 방정식의 해라고 가정한 부분에서 B가 이 방정식의 해라는 가정까지 유도하였습니다 그리고 v는 0이 아닙니다 그래서 v는 영공간의 원소이면서 자명해가 아닙니다 이미 영벡터가 영공간의 원소라는 것을 알고 있으며 영벡터는 이 식을 만족합니다 그러나 v가 0이 아니라고 가정하고 있습니다 0이 아닌 고유벡터를 구하고자 하는 것입니다 이 행렬의 영공간에 영벡터 외의 무언가가 있어야 합니다 λIn-A의 영공간에 영벡터 외의 무언가가 존재해야 합니다 영벡터가 유일한 원소가 아니어야 합니다 그리고 기억하고 있을지 모르겠지만 일반적인 경우에 대해 다루어 보겠습니다 어떤 행렬 행렬 A와 B가 이미 나왔으니 행렬 D라고 하겠습니다 D의 열들은 D의 영공간이 영벡터를 지니는 경우에 대해서만 서로 선형독립이었습니다 맞나요? 그래서 어떤 행렬이 영공간에 영벡터 외의 원소를 지니기 위해서는 선형종속인 열들을 지녀야 합니다 무엇을 알고 있는지를 보이고자 이를 적었습니다 그리고 이 행렬이 영공간에 영벡터 외의 원소를 지닌다는 것은 선형종속인 열들을 다룬다는 뜻입니다 그래서 λIn-A는, 복잡해 보이지만 단지 행렬이고 서로 선형종속인 열들을 지녀야 합니다 다르게 말하자면, 선형종속인 열들을 지닌다면 가역성을 지니지 않기 때문에 행렬식이 0이 되어야 합니다 이들은 모두 참입니다 만약 행렬식이 0이라면 가역성을 지니지 못합니다 선형종속인 열들을 가질 것입니다 만약 행렬식이 0이라면 영공간에 영벡터 외의 원소가 존재합니다 그리고 행렬식이 0이라는 것은 어떤 0이 아닌 벡터 v에 대해 이를 만족하는 λ가 존재한다는 뜻입니다 따라서 어떤 해가 존재한다면 만약 이를 만족하는 0이 아닌 어떤 벡터 v가 존재한다면 이 행렬은 행렬식으로 0을 가져야 합니다 그리고 다른 쪽으로도 나아갈 수 있습니다 만약 이 행렬이 행렬식으로 0을 지닌다면 혹은 어떤 λ를 대입하여 이 행렬이 행렬식으로 0을 지니게 할 수 있다면 이러한 λ들은 이 식을 만족합니다 다른 방향으로도 갈 수 있습니다 어떤 λ가 이 식을 만족시키려면 행렬이 행렬식으로 0을 지니도록 만듭니다 한번 적어 보겠습니다 0이 아닌 어떤 v에 대해 Av=λv가 되기 위한 필요충분조건은 λln-A의 행렬식이 0이 되어야 한다는 것입니다 영벡터가 아니라요 0이 되어야 합니다 행렬식은 스칼라입니다 이는 중요한 내용입니다 이 식이 어떤 식으로 유용한지 의문을 가질 수도 있습니다 이 모든 유도과정을 거쳤고 영공간을 조금 다루었습니다 여기서 중요한 점은 이 식을 어떤 영벡터가 아닌 벡터 v에 대해 만족시키기 위해서는 λ가 어떤 값을 지녀야 한다는 것입니다 그리고 이러한 λ의 값에 단위행렬을 곱하고 행렬 A를 뺀 행렬의 행렬식을 구하면 0이 됩니다 이 성질이 유용한 이유는 행렬에 대해 실제로 이러한 식을 세워 λ를 구할 수 있기 때문입니다 다음 동영상에서 이를 다루고자 합니다