2x2 행렬의 고유값을 구하는 예제

지난 시간에 영벡터가 아닌 벡터 v에 대해 식 Av=λv 를 만족하는 어떤 λ 값이든 λ와 항등행렬의 곱에서 A를 뺀 것의 행렬식이 0이 되어야 한다는 것을 확인할 수 있었습니다 또는, λ가 A의 고유값이라는 것은 λ와 항등행렬의 곱에서 A를 뺀 것의 행렬식이 0이라는 것과 동치라고 나타낼 수 있습니다 이제 고유값을 알아내기 위해 어떤 구체적인 방법을 쓸 수 있는지 봅시다 간단한 2×2 행렬에 대해 풀어봅시다 행렬 A를 1, 2, 4, 3 이라고 합시다 행렬 A의 고유값을 찾야아 합니다 λ가 A의 고유값이라고 하면 이 식에 있는 항등행렬은 R²에서의 항등행렬이 될 것입니다 따라서, λ와 항등행렬 1, 0, 0, 1의 곱에 A를 빼면 그 행렬식의 값은 0이 될 것입니다 그럼 이것은 무엇일까요? 이것은 행렬식입니다 λ와 이 행렬의 곱은 λ와 이 행렬의 원소의 곱입니다 따라서 λ × 1 = λ, λ × 0 = 0 λ × 0 = 0, λ × 1 = λ 입니다 여기서 A를 뺍니다 즉, 행렬 1, 2, 4, 3 을 빼면 그 행렬식의 값은 0이 됩니다 그리고 이 행렬이나 다른 행렬들의 차는 행렬식을 가지고 있습니다 이것은 위 행렬의 행렬식입니다 첫 번째 원소는 λ - 1 입니다 두 번째 원소는 0 - 2 = -2 입니다 세 번째 원소는 0 - 4 = -4 입니다 그리고 네 번째 원소는 이와 같이 λ - 3 입니다 그리고 네 번째 원소는 이와 같이 λ - 3 입니다 무슨 일이 일어났는지 한 번 봅시다 대각선 방향의 원소들은 모두 음수가 되었죠? 대각선 방향의 원소들은 모두 음수가 되었죠? 모두 음수입니다 다른 대각선 방향의 원소들은 앞에 λ가 있습니다 이것은 이 식의 결과입니다 이것은 이 식의 결과입니다 그렇다면, 이 2×2 행렬의 행렬식은 무엇일까요? 이 행렬식은 λ - 1 과 λ - 3 의 곱에서 -4와 -2의 곱을 뺀 것입니다 즉, λ - 1 과 λ - 3 의 곱에서 이 두 원소를 곱을 뺀 것입니다 (-2) × (-4) = 8을 뺀 것이죠 이것은 여기 있는 이 행렬의 행렬식이고 또는 이 행렬을 간소화한 행렬식입니다 이 값은 0이어야 합니다 이 값이 0이 되어야 하는 이유는 전에 본 바로 이 행렬이 자명하지 않은 영공간을 갖기 때문입니다 자명하지 않은 영공간을 갖기 때문에 역행렬은 존재하지 않고 그 행렬식의 값은 0 입니다 여기 흥미로운 다항식이 있습니다 여기 흥미로운 다항식이 있습니다 이를 곱합니다 무엇을 얻게 될까요? 곱해봅시다 다음과 같은 식이 나옵니다 λ² - 3λ - λ + 3 - 8 = 0 다음과 같은 식이 나옵니다 λ² - 3λ - λ + 3 - 8 = 0 정리하면 λ² - 4λ - 5 = 0 입니다 정리하면 λ² - 4λ - 5 = 0 입니다 이에 대한 용어를 말하자면 이 식은 특성다항식으로 알려져 있습니다 이 식은 특성다항식으로 알려져 있습니다 이 식은 특성다항식으로 알려져 있습니다 이 식은 특성다항식으로 알려져 있습니다 A의 고유값을 찾고 싶다면 이 식을 풀어야 합니다 이는 간단한 이차방정식입니다 인수분해가 가능합니다 두 수의 곱은 -5 이고 두 수의 합은 4 입니다 그 두 수는 바로 5 와 -1 입니다 즉, (λ - 5)(λ + 1) = 0 입니다 -5 × 1 = -5이고 -5λ + 1λ = -4λ 입니다 따라서, 이 특성방정식을 0으로 두고 얻은 두 해는 따라서, 이 특성방정식을 0으로 두고 얻은 두 해는 λ = 5 또는 λ = -1 입니다 이와 같이, 이전 영상에서 증명한 내용을 이용하여 A의 두 고유값이 λ = 5 와 λ = -1임을 A의 두 고유값이 λ = 5 와 λ = -1임을 알 수 있습니다 이제 문제의 일부를 해결하였습니다 우리는 고유값과 고유벡터를 찾고 있습니다 우리는 고유값과 고유벡터를 찾고 있습니다 이 방정식은 λ의 값이 5 또는 -1 이기 때문에 성립할 수 있습니다 고유값을 알고 있지만 고유벡터를 결정하지 않았습니다 다음 시간에 알아보도록 합시다