고유벡터와 고유공간을 구하는 예제

이전 강의에서 2차 정사각행렬 A를 1, 2, 4, 3 이라 두고 시작하였습니다 그리고 λ가 A의 고윳값이라는 것과 λ에 항등행렬을 곱한 것에서 A를 뺀 것의 행렬식이 0이라는 게 동치라는 사실을 이용했습니다 이것은 특성방정식이고 이를 풀면 A의 고윳값은 λ=5 와 λ=-1이 됩니다 이전 강의에서 본 내용이죠 만약 여러분이 A와 어떤 고유벡터를 곱한 것이 λ와 그 고유벡터를 곱한 것과 같다는 식을 풀고자 한다면 이 방정식의 해인 두 λ는 5와 -1일 것입니다 영벡터가 아닌 고유벡터라고 가정한다면 말이죠 영벡터가 아닌 고유벡터라고 가정한다면 말이죠 영벡터가 아닌 고유벡터라고 가정한다면 말이죠 고윳값을 갖고 있지만 이것은 고비도 아닙니다 정말 원하는 것은 고유벡터와 고윳값입니다 정말 원하는 것은 고유벡터와 고윳값입니다 할 수 있다면 구해봅시다 이 방정식을 약간 조정한다면 이전에 해본 적이 있죠 사실 이미 이 명제가 주어졌습니다 이를 0 = λv - Av 라고 다시 나타낼 수 있습니다 이를 0 = λv - Av 라고 다시 나타낼 수 있습니다 단지 양변에서 Av를 뺐습니다 λ와 어떤 고유벡터의 곱은 λ와 항등 행렬, 고유벡터의 곱과 같습니다 그저 이 식을 이렇게 표현했을 뿐입니다 항등행렬에 어떤 고유벡터를 곱하든 다시 그 벡터를 얻을 것입니다 따라서 이 두 식은 같습니다 -Av -Av 그대로 영벡터입니다 단지 이 식을 살짝 변형시켰습니다 위 명제에서 이 식을 얻었습니다 식에서 v를 묶습니다 행렬 벡터 곱은 분배법칙이 성립하기 때문입니다 그러면 λ와 항등행렬의 곱에서 행렬 A를 뺀 값에 고유벡터를 곱한 것이 영벡터가 됩니다 다르게 말하자면 어떤 고윳값 λ에 대해서 다르게 말하자면 어떤 고윳값 λ에 대해서 λ에 대응하는 고유벡터들의 집합을 λ에 대한 고유공간이라고 합니다 새로운 용어가 나왔네요 고유공간이라고 합니다 고유공간은 단지 어떤 고윳값에 대응되는 모든 고유벡터들의 집합을 의미합니다 특정 고윳값에 대한 고유공간은 이 방정식을 만족하는 벡터들의 집합과 같게 될 것입니다 이 방정식을 만족하는 벡터들의 집합은 이 행렬의 영공간일 뿐입니다 따라서 그것은 이 행렬의 영공간입니다 따라서 그것은 이 행렬의 영공간입니다 λ와 항등행렬을 곱한 것에서 A를 뺀 것의 영공간입니다 지금까지 한 모든 것들은 일반적인 경우에 대해서 참입니다 지금까지 한 모든 것들은 일반적인 경우에 대해서 참입니다 하지만, 이제 이 개념을 행렬 A에 적용할 수 있습니다 5는 고윳값입니다 λ=5 라고 하면 5에 대응하는 고유공간은 무엇의 영공간과 같을까요? 5와 항등행렬의 곱은 무엇인가요? 이는 2×2 항등행렬이 될 것입니다 5와 항등행렬의 곱은 5, 0, 0, 5 입니다 여기서 행렬 A를 뺍니다 행렬 A는 1, 2, 4, 3입니다 따라서 이는 이 행렬의 영공간이 됩니다 5 - 1 = 4 0 - 2 = -2 0 - 4 = - 4 5 - 3 = 2 이 행렬의 영공간과 이 행렬은 단지 이 행렬을 숫자로 나타냈을 뿐입니다 단지 이 행렬을 숫자로 나타냈을 뿐입니다 이 행렬의 영공간은 이를 만족하는 모든 벡터들의 집합 혹은 이 고윳값에 대응하는 모든 고유벡터들의 집합입니다 즉, 고윳값 5에 대응하는 고유공간이죠 즉, 고윳값 5에 대응하는 고유공간이죠 모두 동일한 명제들입니다 이것의 영공간은 다음 방정식을 만족하는 모든 벡터들의 집합임을 풀어야 합니다 행렬 4, -2, -4, 2와 어떤 고유벡터의 곱이 영벡터입니다 이 행렬의 영공간은 기약사다리꼴 행렬의 영공간과 같습니다 이것의 기약사다리꼴 행렬은 무엇일까요? 괜찮은 추측을 하나 해봅시다 첫 번째 행인 4, －2를 동일하게 해 봅시다 그러고 나서 두 번째 행에 첫 번째 행을 더한 값으로 두 번째 행을 대신합시다 －4+4=0 2+(-2)=0 이제 첫 번째 행을 4로 나누어 1, －1/2를 얻어 봅시다 그러고 나서 0, 0을 얻습니다 이 행렬의 영공간은 무엇일까요? 이는 v에 대응합니다 이것에 v1, v2를 곱한 것은 영벡터와 같아야 합니다 이를 말하는 또 다른 방법은 이 피벗 열에 대응하는 v1과 ＋또는 －1/2에 v2를 곱하면 0이 되어야 한다는 것입니다 또는 v1=1/2 v2 만약 제가 이를 만족하는 모든 고유벡터를 구하기를 원한다면 이 방법으로 구할 수 있습니다 λ=5, 고윳값5에 대응하는 제 고유공간은 어떤 스케일링 상수와 어떤 벡터를 곱해서 나오는 모든 벡터 (v1, v2)와 같습니다 스케일링 상수를 t라고 하면, t에 무엇을 곱한 것과 같죠? 만약 v2가 t와 같다고 한다면 v2는 t×1과 같을 것입니다 그러면 v1은 1/2 v2 또는 1/2 t와 같을 것입니다 위처럼 말입니다 임의의 실수 t에 대해서 말입니다 만약 원한다면 이것을 키울수도 있습니다 임의의 실수에 각각 1과 2를 곱한 값을 넣어줄 수 있죠 그 또한 동일한 공간을 생성할 것입니다 직접 해 봅시다 그러면 좀 더 깔끔하게 보일 것입니다 사실 저는 그것을 할 필요가 없습니다 따라서 고윳값 5에 대한 고유공간이 1/2과 1에서 공간을 생성하는 벡터와 같다고 쓸 수 있습니다 따라서 이는 R2에서의 직선입니다 이들은 고윳값이 5인 방정식에서 적용되고 만족하는 모든 고유벡터들입니다 고윳값이 －1인 경우는 어떨까요? 그 경우를 봅시다 λ=－1일 때, 우리는 그것이 영공간이 될 것을 알고 있습니다 따라서 λ=－1에 대한 고유공간은 λ에 항등행렬을 곱하고, 그럼 -1, 0, 0, -1 이 되겠죠 그래서 바로 저기에 -1을 취한, -1 곱하기 1, 0, 0, 1에서 A를 빼준 것의 영공간이 될 것입니다 따라서 1, 2, 4, 3을 뺍니다 그러면 이것은, -1 -1 = -2 0 -2 = -2 0 - 4 = -4, -1 -3 = -4 의 영공간과 같아질 것입니다 그러면 이는 기약사다리꼴 행렬의 영공간과 같아질 것입니다 따라서 우리는 여기서 행 연산을 할 수 있습니다 이를 기약사다리꼴 행렬로 놓읍시다 두 번째 행에 2와 첫 번째 행을 곱한 것을 더합니다 첫 번째 행은 동일하게 할 것입니다 －2, －2 그러고 나서 두 번째 행에서 2와 첫 번째 행을 곱해 그것과 더합니다 또는 첫 번째 행에 －2를 곱해 그것과 더합니다 －4＋4=0 첫 번째 행을 －2로 나눈다면 이 행렬 또는 이 기약사다리꼴 행렬은 1, 1, 0가 될 것입니다 따라서 고윳값 －1에 대응하는 고유공간은 이것의 영공간과 같습니다 그것은 식 1, 1, 0, 0을 만족하는 일련의 벡터들입니다 그러고 나면 v1과 v2는 0과 같습니다 또는 여러분은 v1+ 이들은 벡터가 아니고 그저 값입니다 v1＋v2=0 0이 저것과 같기 때문입니다 1×v1+1×v2는 저기 있는 0이 될 것입니다 또는 v1=－v2라고 쓸 수 있고 또는 v2가 t와 같다고 하면 v1을 －t와 같다고 할 수 있습니다 또는 고윳값 －1에 대한 고유공간이 모든 벡터, v1, v2와 같다고 할 수 있습니다 v1=-t, v2=t로 주어지는 경우에 말이죠 또는 이것이 벡터 (-1,1)이 생성하는 공간과 같다고 할 수 있습니다 그러면 이를 우리가 한 것을 이해하기 위해 약간 그려봅시다 우리는 5와 －1이라는 두 고윳값을 찾을 수 있었습니다 그리고 모든 중요한 벡터를 찾을 수 있습니다 또는 이들의 고윳값에 각각 대응하는 일련의 고유벡터들을 찾을 수 있었습니다 그러면 이들을 그려 봅시다 R2로 간다면 축을 그리고 이것은 수직 축입니다 이것은 수평축입니다 λ=5에 대응하는 모든 벡터들은 직선 1/2과 1을 따릅니다 또는 벡터 (1/2, 1)이 생성하는 공간에서 여기는 1이고 여기는 1입니다 여러분은 1/2과 1로 이와 같이 갑니다 따라서 이것은 벡터, 공간을 생성하는 벡터입니다 그러나 모든 이것들의 곱으로 생성된 공간을 지나는 모든 것들은 고유벡터가 될 것입니다 따라서 이 생성된 직선을 지나는 것들은 여러분이 그들을 표준 위치에 그릴 때의 모든 벡터들은 그 직선의 점을 가리킬 것입니다 그 위에 있는 모든 벡터들은 고유벡터가 될 것이고 대응하는 고윳값은 5와 같아질 것입니다 따라서 이것을 저에게 주십시오 여러분이 이 변환을 적용한다면 그것은 이것의 5배가 될 것입니다 만약 이것이 x라면 x의 t는 5배가 되었을 것입니다 이 직선위에 있는 어떤 벡터를 가져오더라도, 이 변환은 말 그대로 A를 곱하는 게 됩니다 어디서 행렬 A를 얻었을까요? 행렬 A는 바로 여기 있습니다 여러분은 단지 이 벡터를 5배 늘리게 됩니다 양쪽 방향 모두 말이죠 이는 λ=5에 대한 것입니다 그리고 λ=1에 대해 이 벡터가 생성하는 공간은 －1, 1입니다 이처럼 말입니다 이 벡터는 이렇게 생겼습니다 우리는 그것이 생성하는 공간에 관심이 있습니다 여러분이 벡터를 표준 위치에 그릴 때, 이 직선 위에 있거나, 이 직선 위의 점을 가리키는 모든 벡터는 고윳값 -1에 대한 고유벡터가 될 것입니다 따라서 λ=－1입니다 여러분이 공간을 생성하는 벡터를 여기에 갖고 있다고 합시다 여러분은 변환을 적용하고－1과 그것의 곱을 얻을 것입니다 이것이 x라면 x의 변화는 여기 있을 것입니다 길이는 같고 방향은 반대입니다 여러분이 이것을 갖고 있고 변환을 적용하면 이는 동일한 생성된 직선 위에 있게 될 것입니다 이처럼 말입니다 행렬의 두 고유 공간에서 어디에 제가 그것을 썼나요? 제 생각에 그것은 행렬 1, 2, 4, 3입니다 두 고윳값은 5와 －1입니다 이는 무한한 수의 고유벡터를 가지고 있어 그들은 두 고유 공간을 만듭니다 그들 각각은 하나의 고윳값에 대응합니다 이 직선들은 두 고유공간을 나타냅니다 여러분이 이 두 집합 안에서 어떤 벡터를 제시하더라도 그것은 고유벡터가 될 겁니다 제가 벡터라는 단어를 너무 많이 쓰고 있군요 여러분이 저에게 이 세트의 임의의 벡터를 제시하면 그들은 행렬 A에 대한 고유벡터가 될 것입니다 그것이 어떤 직선이냐에 따라서 우리는 그들의 변환이 어떻게 될지 알고 있습니다 만약 이처럼 되려고 한다면 우리가 변환을 취한 결과 벡터는 5와 벡터의 곱이 될 것입니다 여러분이 이 고유벡터 중에서 하나를 취하고 변환시킨다면 그 결과 벡터의 변환은 －1과 그 벡터의 곱이 될 것입니다 어쨌든 우리는 이제 고윳값, 고유벡터 고유공간이 무엇인지 알고 있습니다 더 나아가 우리는 어떻게 그들을 찾는지 알고 있습니다