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주요 내용
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동영상 대본

2x2 행렬의 고유값을 알아낼 수 있었습니다 3x3 행렬에서도 고유값을 찾을 수 있는지 알아보도록 하겠습니다 내용이 더 복잡해져서 상당히 어려울 수 있으니 알아두세요 λ는 A의 고유값입니다 정의상 이의 필요충분조건은, 한번 적어 보겠습니다 A와 0이 아닌 어떤 벡터 v의 곱이 λ와 벡터 v의 곱과 같은 경우와 필요충분조건입니다 0이 아니라는 조건을 적겠습니다 이를 고유벡터 v라고 할 수 있지만 0이 아닌 어떤 벡터 v라고 하겠습니다 이는 다음 내용과 필요충분조건인데 이렇게 쓰겠습니다 이는 다음 조건과 필요충분조건인데 그리고 이는 복습이기도 합니다. 하지만 이를 10년 뒤에 보게 된 것처럼 복습하고자 합니다 식을 외우지 않았으면 하기 때문입니다 대신 논리 전개를 기억하셨으면 합니다 이는 다음 조건과 필요충분조건인데 양 변에서 Av를 빼겠습니다 영벡터는 λ 곱하기 λ 곱하기 v를 쓰는 대신 λ 곱하기 단위행렬 곱하기 v로 적겠습니다 같은 내용입니다 단위행렬과 v의 곱은 v입니다 그리고 Av를 빼 줍니다 양 변에서 Av를 뺐으니까요 v를 단위행렬과 v의 곱으로 바꾸어 적습니다 이는 영벡터가 (λIn-A)v와 같은 조건과 필요충분조건입니다 벡터 v를 우항의 두 항에서 빼내었고 어떤 행렬과 v의 곱을 얻었습니다 이러한 식이 항상 참이기 위해서는 이쪽에 다시 적어 보겠습니다 알아볼지도 모르는 형태로 다시 적겠습니다 λ와 단위행렬의 곱에서 A를 뺀 값입니다 이는 어떤 행렬일 뿐입니다 이 행렬과 v의 곱은 0이 아닌 벡터 v에 대해 0이 되어야 합니다 이는 이 행렬의 영공간이 0이 아닌 원소를 가져야 한다는 뜻입니다 혹은 열들이 선형독립이 아니라고 생각할 수도 있습니다 내지는 가역성이 존재하지 않거나 행렬식이 0이라고 생각할 수도 있습니다 따라서 λ가 A의 고유값인 조건은 방금 다룬 조건들과 필요충분조건입니다 그리고 이는 0이 아닌 벡터들 중에서 λIn-A의 행렬식이 0을 만족하는 경우 참이었습니다 당시에 다룬 가장 중요한 내용이었습니다 두세 동영상 전에 다룬 내용이었을 겁니다 이제 이를 3x3 행렬 A에 적용해 봅시다 3x3 단위행렬을 사용할 것입니다 λ와 단위행렬의 곱은 한번 적어 보겠습니다 단위행렬을 곱했기 때문에 어떻게 되냐 하면 한번 적어 보겠습니다 λ와 단위행렬의 R3에서의 곱입니다 그래서 λ λ, λ가 됩니다 나머지는 다 0이고요 단위행렬이 대각선을 따라 1들이 있기 때문에 λ와 곱했을 때에 이들만 0이 되지 않습니다 나머지는 다 0이 됩니다 단위행렬과 λ의 곱이었습니다 따라서 λ와 단위행렬의 곱에서 A를 뺀 값은 상당히 찾기 간단합니다 대각선을 따라서는 λ 빼기 직접 해 보겠습니다 λ 빼기 -1은, 대각선을 계산한 겁니다 λ 빼기 -1은 λ+1입니다 그리고 0 더하기 2는, 다른 색으로 하겠습니다 0 빼기 2는 -2입니다 0 빼기 2는 -2이고 0 빼기 2는 -2입니다 이쪽을 해 봅시다 0 빼기 2는 -2이고 0 빼기 -1은 0 더하기 1이니까 1입니다 이쪽을 계산해 봅시다 0 빼기 -1입니다 1입니다 대각선을 마무리하겠습니다 λ에서 2를 뺍니다 그러고는 λ에서 2를 뺍니다 λ가 A의 고유값이기 위해서는 이 행렬의 행렬식이 0이어야만 합니다 행렬의 행렬식을 알아봅시다 떠오르는 방법들 중에서 가장 쉬운 방법은 사루스 법칙을 이용하는 것입니다 사루스 법칙을 이용하여 행렬식을 알아보겠습니다 이 행들을 여기 다시 적어보겠습니다 복사해서 붙여 넣겠습니다 이 두 열을 가지고 여기 붙여 넣습니다 옆에 너무 붙은 것 같지만 무슨 뜻인지는 이해하겠지요 사루스 법칙에서는 이들의 곱과 이들의 곱, 그리고 이들의 곱을 더한 뒤 이들의 곱과 이들의 곱, 이들의 곱을 빼 줍니다 이제 그렇게 할 것입니다 그래서 이 곱은 λ+1 곱하기 λ-2 곱하기 λ-2입니다 여기 있는 값입니다 그러고 더하기, -2 곱하기 -2입니다 4가 됩니다 그러고 나서 -2 곱하기 -2이므로 4입니다 다시 더하기 4입니다 그러고 나서 이 열과 이 열을 곱한 것을 아니, 빼기 이 열 빼기 이 열 그리고 열이 아니라 대각선이라고 해야겠네요 그래서 -2 곱하기 -2 곱하기 한번 적어 보겠습니다 -2 곱하기 -2, 즉 4입니다 여기에 λ-2를 곱합니다 이 대각선이었죠 그러고 나서는 빼기, 뭐가 나오나요? -1 곱하기 λ+1입니다 -(λ+1) 그러고 이 대각선을 따라 내려갑니다 -2 곱하기 -2는 4입니다 그래서 4(λ-2)이고 이 값만큼 빼 줘야 합니다 따라서 -4(λ-2) 한번 정리해 보겠습니다 이 파란 부분들이, 어디 봅시다 이들이 8이 되고, 이 값이 이 값이 (λ+1) 곱하기 이들 둘을 먼저 곱하면, λ² -4λ 빼기 2λ 빼기 2λ니까요 그래서 -4λ 더하기 4 그리고 여기에 8을 더했지요 그러고 나서는, 한번 봅시다 여기 -4λ가 있습니다 괄호 안을 전부 곱하겠습니다 -4λ+8-λ-1-4λ+8 조금 더 간단히 해 보겠습니다 여기 이 값이, 한번 살펴봅시다 상수항으로 8이 있고, -1이 있고 8이 있고, 또 8이 있습니다 24에서 1을 뺀 것입니다 23이 되겠네요 그러고 나면 λ 항들이 있습니다 -4λ가 있습니다 -λ가 있고, 여기 -4λ가 있습니다 그래서 -8-1입니다 그래서 -9λ입니다 더하기 23 이제 이를 정리할 차례입니다 먼저 λ를 이 괄호 전체에 곱하겠습니다 그래서 λ³-4λ²+4λ가 됩니다 그러고는 이 1을 괄호 전체에 곱해 줍니다 λ² -4λ+4 그리고 뒤에 이 항들도 있고요 이들을 다시 정리해야 합니다 상수항은 어떻게 되나요? 23이 있고, 4가 있습니다 그래서 27이 됩니다 더하기 27 그러고, λ항은 어떻게 되나요? -9λ가 있고, 한번 봅시다 -9λ, +4λ -4λ가 있습니다 마지막 두 항이 서로 소거됩니다 그래서 -9λ가 남습니다 이제 λ²항을 살펴봅시다 λ²이 있고 -4λ²이 있습니다 이 둘을 더하면 -3λ²를 얻습니다 그리고 마지막으로, 오직 하나의 λ³ 항이 있습니다 여기 말입니다 행렬의 고유다항식을 구했습니다 그래서 이는 행렬의 고유다항식으로 어떤 λ에 대한 행렬식을 나타냅니다 어떤 λ에 대한 행렬식 이 값이 0인 필요충분조건은 λ가 고유값이어야 한다는 것입니다 그래서 이 값을 0과 같다고 놓습니다 그리고 운이 좋은지 없는지는 모르겠지만 여기에는 자명해가 없습니다 해가 존재하지만 아주 복잡합니다 대체로 구하는 과정이 시간 낭비입니다 그래서 이차다항식을 인수분해 하는 식의 방법을 사용해 보겠습니다 책에서 이 문제를 발췌했고 만약 이러한 식의 문제를 실제 선형대수학 시간이나 대수학 시간에 보게 된다면 고유값과 무관한 식으로 보게 되더라도 대체로 정수해를 다루게 됩니다 그리고 정수해를 다루게 되는 경우 해들은 여기 이 항의 인수가 됩니다 특히 λ³항의 계수가 1인 경우 말입니다 그래서 가능한 해는, 이 경우에 27의 인수는 어떤 것들이 있나요? 1, 3, 9, 27이 될 것입니다 이들은 모두 해가 될 수 있습니다 한번 시도해 보겠습니다 1의 세제곱은 1이고, -3입니다 1을 대입해 보겠습니다 1을 대입하게 되면 1-3-9+27입니다 이는 0이 되지 않습니다 이는 -2-9이므로 -11이 됩니다 +16 이는 0이 되지 않습니다 따라서 1은 해가 아닙니다 만약 3을 시도한다면 3의 세제곱은 27입니다 빼기 3 곱하기 3의 제곱은 -27입니다 -9 곱하기 3은 -27입니다 그러고 +27이 있습니다 이는 0과 같습니다 운이 좋게도 두 번째 시도에서 0을 만족하는 해를 구할 수 있었습니다 그래서 3을 대입하여 0이 나왔다면 x-3이 인수의 하나라는 뜻입니다 그래서 이는 x-3 곱하기 무언가가 될 것입니다 λ-3이라고 해야겠네요 다른 해들을 찾아봅시다 λ-3을 가지고 이 식을 나누어 봅시다 λ³-3λ²-9λ+27을요 어떤 값을 얻게 되나요? λ로 λ³을 나누기 때문에 λ²가 됩니다 λ를 λ²와 곱합니다 λ² 곱하기 λ는 λ³입니다 λ² 곱하기 -3은 -3λ²입니다 이들을 빼면 0을 얻습니다 0을 얻게 됩니다 그러고 나서 이쪽을 계산합니다 양쪽 모두로 계산할 수 있지만 -9를 없애는 식으로 계산합시다 모두 없앨 수 있습니다 -9λ+27을 얻습니다 막 이 값들을 이 위 식에서 뺐다고 생각할 수도 있습니다 그리고 이 항들이 남았다고 말입니다 λ-3으로 이것들을 나눕니다 λ-3이 9λ를 나눕니다 9λ니까, 곱하기 -9가 됩니다 -9를 적도록 하겠습니다 -9 곱하기 λ-3은 -9λ+27입니다 아주 잘 정리되었습니다 그래서 0이 남습니다 고유다항식이 (λ-3)(λ²-9)로 정리되었습니다 그리고 이 값이 0과 같다고 해야 λ가 행렬의 고유값이 되겠지요 이 항은 인수분해하기 아주 쉽습니다 이는 λ-3 곱하기, λ²-9는 λ+3과 λ-3의 곱입니다 그리고 이들 전체는 0이 됩니다 그리고 여기서 얻는 해들은, 이미 하나의 해는 알고 있습니다 3이 해라는 것을 알고 있는데 여기서도 3이 해라는 것을 보입니다 그래서 3x3 행렬 A에서 가능한 고유값은 위에서 본 행렬 A입니다 가능한 고유값은 λ=3이거나 λ=-3이어야 합니다 이 두 값이 고유다항식 혹은 행렬의 행렬식을 0이 되도록 만드는데 이는 λ가 0이 아닌 어떤 벡터 v에 대한 고유값이 되기 위한 조건입니다 이제 고유값을 구했으니 다음 동영상에서는 고유벡터를 구해보도록 하겠습니다