함수의 합 적분하기

여기 몇 가지 함수가 있습니다 y=f(x) 의 그래프와 y=g(x) 의 그래프입니다. 우리는 이미 y=f(x)의 그래프 밑의 넓이를 나타내는 방법을 알고 있습니다 x=a 와 x=b 사이의 구간에서 말입니다 지금 색칠한 부분은 x=a 와 x=b, x 축과 곡선 사이의 넓이입니다 x=a 와 x=b, x 축과 곡선 사이의 넓이입니다 이것은 정적분으로 나타낼 수 있습니다 a에서 b까지 f(x)의 x에 대한 적분입니다 g 함수에도 같은 방법을 적용해봅시다 색칠된 부분의 넓이는 다른 색을 사용합시다 약간 다른 초록색이네요 y=g(x) 의 그래프 밑의 색칠된 부분의 넓이는 x=a 와 x=b, x 축과 곡선 y=g(x) 사이의 넓이입니다 x=a 와 x=b, x 축과 곡선 y=g(x) 사이의 넓이입니다 이것도 정적분으로 나타낼 수 있습니다 a 에서 b 까지 g(x) 의 x에 대한 적분입니다 두 값을 구했으므로 y=f(x)+g(x) 의 그래프 밑의 넓이에 대해 생각해봅시다 y=f(x)+g(x) 의 그래프 밑의 넓이에 대해 생각해봅시다 무슨 의미일까요? 흥미로운 질문입니다 처음부터 다시 시작해봅시다 y=f(x)의 그래프를 그대로 가지고 왔습니다 y=f(x)의 그래프를 그대로 가지고 왔습니다 제가 하고 싶은 것은 y = f(x) + g(x) 의 그래프를 어림하는 것입니다 y = f(x) + g(x) 의 그래프를 어림하는 것입니다 모든 x에 대해 f(x)에 모든 x에 대해 f(x)에 모든 x에 대해 f(x)에 g(x)를 더할 것입니다 어떻게 생겼을까요? 살펴봅시다 x = 0 일 때 g(x) 는 이 정도 길이일 것입니다 근사했을 뿐입니다 두 길이를 더하면 이 정도쯤 될 것 같습니다 x=a일때 g(x)가 조금 더 깁니다 f(x)의 값도 증가하였으므로 g(a)의 길이를 그대로 더하면 g(a)의 길이를 그대로 더하면 이 정도쯤 될 것 같습니다 다시 한 번 말하지만 근사일 뿐입니다 다시 한 번 말하지만 근사일 뿐입니다 y = f(x) + g(x) 의 그래프를 근사하기 위해서입니다 y = f(x) + g(x) 의 그래프를 근사하기 위해서입니다 이제 a와 b 사이의 값을 봅시다 이제 a와 b 사이의 값을 봅시다 g(x)의 길이는 이쯤 되고 같은 길이를 옮겨 더하면 이 정도쯤 될 것 같습니다 g(b)의 길이는 이 정도 되고 f(b)에 더하면 이 정도쯤 될 것 같습니다 너무 긴 것 같군요 이 정도쯤 될 것 같습니다 즉 f와 g를 더한 그래프는 이렇게 생겼을 것입니다 아마도 계속 증가할 것 같습니다 이것이 구하는 그래프입니다 적어도 y=f(x)+g(x)의 좋은 근사입니다 적어도 y=f(x)+g(x)의 좋은 근사입니다 여기서 흥미로운 질문은 여기서 흥미로운 질문은 x=a 와 x=b, x 축과 곡선 사이의 넓이 말입니다 x=a 와 x=b, x 축과 곡선 사이의 넓이 말입니다 x=a 와 x=b, x 축과 곡선 사이의 넓이 말입니다 우리는 이 넓이를 핑크색을 사용하지 않았군요 우리는 이 넓이를 우리는 이 넓이를 정적분으로 나타낼 수 있다는 사실을 알고 있습니다 a 에서 b 까지 f(x)+g(x)의 x에 대한 적분입니다 여기서 질문은 이 정적분이 앞서 구한 정적분들과 어떤 관계를 가지고 있는가입니다 이 정적분이 앞서 구한 정적분들과 어떤 관계를 가지고 있는가입니다 이 정적분이 앞서 구한 정적분들과 어떤 관계를 가지고 있는가입니다 한 가지 중요한 사실은 노란색 부분의 넓이가 이 부분의 넓이와 같다는 것입니다 직관적인 사실입니다 하지만 초록색 부분의 넓이는 이 부분과 어떤 관계가 있을까요? 적분의 정의에 대해 생각해보면 됩니다 적분의 정의에 대해 생각해보면 됩니다 적분은 무엇을 나타냅니까? 아주 작은 직사각형들을 생각한 후 아주 작은 직사각형들을 생각한 후 무한히 얇은 직사각형을 무수히 더한 넓이의 극한이라고 생각했습니다 무한히 얇은 직사각형을 무수히 더한 넓이의 극한이라고 생각했습니다 하지만 리만 합을 생각해보면 아주 작은 x의 변화량에 높이, 즉 그곳에서의 함숫값을 곱했습니다 높이, 즉 그곳에서의 함숫값을 곱했습니다 높이, 즉 그곳에서의 함숫값을 곱했습니다 여기서도 같은 x의 변화량에 대해 여기서도 같은 x의 변화량에 대해 같은 높이를 가집니다 같은 높이를 가집니다 그래프를 그릴 때 같은 높이를 더했기 때문입니다 높이는 g(x)의 값과 동일합니다 직사각형들이 변형된 것처럼 보이지만 직사각형들이 변형된 것처럼 보이지만 사실은 f(x)에 의해 위아래로 자리가 움직인 것 뿐입니다 제가 그리는 직사각형의 높이는 제가 그리는 직사각형의 높이는 이 직사각형의 높이와 동일합니다 이 직사각형의 높이와 동일합니다 다시 한 번 말하지만 f(x)에 의해 위아래로 움직였을 뿐입니다 다시 한 번 말하지만 f(x)에 의해 위아래로 움직였을 뿐입니다 직사각형들은 완전히 일치하고 같은 높이를 가집니다 이 직사각형들을 더 얇게 만들어 구한 넓이 합의 극한은 이 직사각형들을 더 얇게 만들어 구한 넓이 합의 극한은 이곳에서의 극한과 같을 것입니다 이곳에서의 극한과 같을 것입니다 그러므로 y=g(x) 에서의 넓이와 물론 정확한 증명은 하지 않고 아이디어만 드리고 있습니다 그러므로 y=g(x) 에서의 넓이와 두 그래프 사이의 넓이는 같습니다 그러므로 y=f(x)+g(x)의 그래프 밑의 넓이는 a에서 b까지 f(x)+g(x)의 정적분과 같고 이것은 f(x)의 정적분과 g(x)의 정적분의 합과 같습니다 당연하게 느껴지실 수도 있고 그렇지 않을 수도 있지만 이 사실이 언제 유용하게 사용될까요? 나중에 적분을 계산하는 것을 배울 때 나중에 적분을 계산하는 것을 배울 때 나중에 적분을 계산하는 것을 배울 때 가장 강력한 방법 중 하나라는 것을 알게 될 것입니다 예를 들어 (x² + sin x) 를 0부터 1까지 적분한다고 하면 아직 배우지 않으셨을 수도 있겠지만 다음과 같이 분리할 수 있습니다 (x² + sin x)의 정적분은 x² 의 정적분과 sin x 의 정적분의 합과 같다고 할 수 있습니다 x² 의 정적분과 sin x 의 정적분의 합과 같다고 할 수 있습니다 보실 수 있듯이 분리성은 정적분의 가장 중요한 성질 중 하나입니다 보실 수 있듯이 분리성은 정적분의 가장 중요한 성질 중 하나입니다 직접 계산하거나 무엇을 나타내는지 생각할 때 말입니다