예제: 대수적 성질을 이용하여 정적분 구하기

3부터 3까지의 f(x)의 x에 대한 정적분을 구해봅시다 여기 f(x)의 그래프가 있습니다 y=f(x)이죠 여기 f(x)의 영역이 있고요 다양한 구간의 x축도 있습니다 이걸 보면 사실 여기 이 그래프를 볼 필요도 없습니다 왜냐하면 일반적으로 f(x)의 정적분을 구할 때 a에서부터 같은 값인 a 구간 내의 정적분 값은 항상 0이기 때문이죠 이 예제에서는 3에서 3까지의 구간이죠 -π에서 -π도 마찬가지입니다 마찬가지로 0이죠 이렇게 생각해 봅시다 3이라는 지점에서 시작하고 그 지점에서 끝을 내면 시작과 끝 사이 구간 내의 면적은 없겠죠 다른 예시를 봅시다 여기서는 7부터 4까지의 f(x)의 정적분 값을 구하고자 합니다 7부터 4를 구간으로 하고자 하는 것이죠 그러면 아마 여러분은 그래프에서 면적을 보았을 때 2라고 쓰여 있으니 정적분 값은 2라고 생각할 겁니다 하지만 여기서 중요한 것은 이러한 식의 논리는 위끝과 아래끝이 바르게 존재할 때만 가능하죠 그러니 4부터 7까지의 정적분 값은 2입니다 바로 여기 이 부분을 뜻하죠 그렇다면 이것을 바꾸면 어떻게 되는 걸까요? 4에서 7까지가 아니라 7에서 4까지로 말이에요 이러한 경우처럼 정적분에서 위끝과 아래끝을 바꾸어버리면 그 값은 부호가 바뀐 음수가 됩니다 그러니 이 경우에는 4부터 7까지 f(x)의 정적분 값의 반대 부호를 붙인 것과 같습니다 그렇게 되면 4부터 7까지의 정적분 값인, 바로 이 영역의 넓이에 (-)를 취한 것이 되죠 이 구간 내에서의 f(x)의 영역 말이에요 이것은 양수입니다 그러면 이 경우 여기 이 영역의 넓이는 2이고 그 값에 (-)를 취한 값이므로 우리가 구하고자 했던 것은 -2 임을 알 수 있습니다