확장된 함수 적분하기

우린 벌써 살펴봤습니다. 아마 이제는 제가 이 노란 영역을 가르키는 것이 지겨워지셨을지도 모르겠습니다 여기 y=f(x)곡선 아래의 영역과 x축의 양의 영역 위의 부분, 혹은 그냥 x축 위의 x=a 와 x=b 사이의 영역이라고도 할 수 있겠습니다 우리는 여기 이 부분을 f(x)의 a 에서 b 까지의 정적분이라고 나타낼 수 있습니다 이 영상에서 하고싶은 것은, 여러분이 혼자서 이끌어냈을 수도 있는 내용일 수도 있지만, 적어도 그것에 대한 직관이 있을 수도 있지만, f(x)의 더 넓어진 범위의 그래프의 아랫부분에 대해 생각해 보려고 합니다 y=c*f(x)라고 해봅시다 y는 f(x)에 어떤 상수값을 곱한 것과 같다고 해 봅시다. 즉, 이는 f(x)를 확장시킨 것 입니다 저는 이 숫자가 임의의 숫자였으면 좋겠습니다 하지만 여러분의 시각화를 위해서 제가 뭔가를 그려야하기 때문에 머릿속으로 그냥 c가 3이라고 가정해 봅시다 단지 시각화가 목적일 뿐입니다 그래서 이 그래프에 1대신 3을 곱한 것 일 것입니다 여기 이 점은 이만큼 높이 대신에 이정도의 높이가 될 것입니다 이 점은 이 높이가 아닌 이 정도의 높이일 것이고 또 이점은 이렇게되고 여기 대신에 더 위로 갈 것이고 이 점은 여기에 있지 않고 하나, 둘, 셋, 해서 여기쯤에 있을 것 입니다 지금 이 곡선이 어떤 모양일지에 대해 대략적인 감을 잡고 있는 것 입니다 f(x)의 확장된 버전이고 제가 그리고 있는 이 그래프가 f(x)에 3을 곱한 함수의 그래프와 비슷하지만 이 높이는 3배를 해주면 여기가 될 것 입니다 그래프 모양이 대략 이렇게 될 것입니다 이런식으로 그려질 것 입니다 이 그래프는 확장된 버전입니다 제가 이 함수를 확장시킨 방법은 0보다 큰 양의 상수c를 곱한 것인데, 이는 시각화를 위한 것일 뿐입니다 이제, 이 곡선의 아랫부분의 a와 b사이의 영역이 어떻게 될 것이라고 생각하시나요? 어떻게 생각하시나요? 제가 지금 색칠하고 있는 이 영역의 넓이가 어떻게 될까요? 우리는 이 영역을 어떻게 표시하는지 벌써 알고 있습니다 이 영역은 우리가 적분하고 있는 함수인 c*f(x)의 a에서 b까지의 정적분으로 표현할 수 있습니다 질문을 좀 더 명확하게 만들어 보겠습니다 이것과 이것의 관계는 무엇일까요? 이 초록색 영역이 노란색 영역과 무슨 관련이 있을까요? 이 문제를 생각하는 한 방법은 함수를 수직으로 c만큼 확장했다는 점을 이용하는 것 입니다 그래서 생각해 볼 수 있는 방법은, 제가 어떤 영역의 넓이를 구한다면, 예를들어 직사각형의 넓이를 구하는데 수직 높이가, 똑같은 문자를 사용하지 않기 위해, 높이를 알파라고 하고 폭이 베타라고 한다면 우리는 이 직사각형의 넓이가 알파x베타 라는 것을 알고 있습니다 높이에 c를 곱해서 확장시키면, 그래서 높이가 알파 대신 c*알파 가 되고 폭은 여전히 베타이면, 즉, 제가 수직 높이를 c로 확장시키면 이 직사각형의 영역은 어떻게 될까요? 'c <i> 알파 </i> 베타' 가 될 것 입니다 생각해 볼 수 있는 또 다른 방법은, 제가 함수를 c만큼 확장시켰을 때, 이전의 영역을 c만큼 확장시켰다는 것 입니다 우리가 하고있는 게 그것입니다 f(x)에 c를 곱하는 것은 수직적으로 c만큼 확장시키는 것입니다 f(x)가 수직 높이이기 때문입니다 당연히 x가 변하면서 그 값도 변합니다 하지만 로만합을 다시 생각해 보면 f(x)가 직사각형들의 높이였습니다 우리는 지금 높이를 위로 확장시키고 있습니다 혹은 c의 값에 따라 아래로 확장시킬 수도 있습니다 쨌든 확장시키고 있습니다 1차원을 c만큼 말입니다 만약 일차원을 c만큼 확장시킨다면, 영역도 c만큼 확장시키는 것 입니다 여기 이 적분은, 여기다가 쓰겠습니다, cf(x)의 a에서 b까지의 정적분은 확장된 것 입니다 f(x)의 넓이를 사용해 쓰겠습니다 같은 색으로 쓰겠습니다 f(x)곡선의 아랫부분 넓이, f(x)의 a에서 b까지의 정적분을 가져오겠습니다 그리고 이 값을 c로 확장시킬 것 입니다 c로 확장시킬 것 입니다 여러분들은 정적분 안의 c를 정적분 밖으로 뺐다고 생각할 수도 있겠습니다 다시 말하자면, 이것은 정적분의 정의에 의한 엄격한 증명은 아니지만 아마도 여러분들에게 왜 이렇게 할 수 있는지에 대한 약간의 직관을 줄 것 입니다 만약 함수를 확장한다면 여러분은 수직적으로 확장시키는 것이므로 아랫부분의 넓이가 원래 함수 f(x)의 아랫부분 넓이의 확장된 버전이 될 것 입니다 그리고 다시한번, 여러 정적분을 해결하는데 매우 유용한 정적분의 속성일 것 입니다. 그리고 우리가 정적분으로 하는 일을 명확하게 해 줄 것입니다