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주요 내용

넓이 공식을 사용하여 정적분 구하기

정적분은 곡선과 x축 사이의 넓이이기 때문에 넓이 공식을 사용하여 정적분을 구하기도 합니다. 이 방법을 배워 봅시다.

동영상 대본

다음 적분을 구하라고 합니다 그리고 f의 그래프가 주어졌습니다 첫 번째는 -6에서 -2까지 f(x) dx의 정적분입니다 동영상을 멈추고 이 그래프로 스스로 풀어보세요 동영상을 멈추고 이 그래프로 스스로 풀어보세요 x = -6에서 시작해 x = -2까지 갑니다 그리고 정적분의 넓이는 그래프 아래 x축 위에 있는 넓이입니다 바로 이 넓이입니다 이건 어떻게 구할까요? 이건 반원입니다 그리고 반지름을 알 때 원의 넓이를 구하는 방법은 이미 압니다 그리고 이 원은 반지름이 2입니다 그리고 이 원은 반지름이 2입니다 중심에서 어느 방향으로 가던 반지름이 2입니다 원의 넓이는 𝜋r²입니다 이것의 반지름인 𝜋2²입니다 하지만 이건 반원입니다 그러니 2로 나누겠습니다 원의 1/2이니까요 이건 4𝜋/2가 되니까 2𝜋와 같습니다 다른 걸 해보죠 이건 -2에서 1까지 f(x) dx의 정적분입니다 이건 -2에서 1까지 f(x) dx의 정적분입니다 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 좋습니다 같이 해 봅시다 -2에서 1까지입니다 여기는 약간 조심해야 합니다 정적분은 함수 아래와 x축 위의 넓이라고 할 수 있는데 함수 아래와 x축 위의 넓이라고 할 수 있는데 여기엔 함수가 x축 밑에 있습니다 따라서 이렇게 할 수 있습니다 이 넓이를 구하고 그건 기하학으로 풀 수 있고 그런 다음 이것이 음수인 값의 정적분이라는 것을 알아야 합니다 함수가 x축 밑에 있기 때문이죠 그러면 넓이는 얼마일까요? 몇 가지 방법으로 생각해 볼 수 있습니다 몇 개의 도형으로 나눌 수도 있고 평행사변형으로 볼 수도 있습니다 아니면 직사각형과 두 삼각형으로 나눌 수 있습니다 이렇게 나누면 이 삼각형의 넓이는 1·2·1/2입니다 따라서 이 넓이는 1입니다 이 직사각형의 넓이는 2·1입니다 이 직사각형의 넓이는 2·1입니다 따라서 이 넓이는 2입니다 이 삼각형의 넓이는 똑같이 1입니다 이 삼각형의 넓이는 똑같이 1입니다 밑변이 1이고 높이가 2이므로 1·2·1/2입니다 삼각형의 넓이는 밑변과 높이와 1/2을 곱한 값입니다 1입니다 이걸 더하면 1 + 2 + 1은 4입니다 그래서 정답이 4라고 하고 싶을 수 있는데 그래서 정답이 4라고 하고 싶을 수 있는데 이 함수는 x축 밑에 있다는 것을 기억해야 합니다 따라서 이것은 -4입니다 다른 걸 풀어 봅시다 이제 1에서 4까지 f(x) dx입니다 동영상을 멈추고 스스로 풀어 보세요 여기부터 여기까지입니다 바로 이 넓이입니다 이건 어떻게 구할까요? 삼각형 넓이 공식을 사용합니다 밑변과 높이와 1/2을 곱합니다 1/2에 밑변을 곱하는데 밑변의 길이는 3입니다 밑변의 길이는 3입니다 1부터 4까지네요 그러니 1/2에 3을 곱하고 높이를 곱합니다 1, 2, 3, 4칸이니까 4를 곱합니다 6이 됩니다 마지막으로 4부터 6까지 f(x) dx입니다 바로 이 넓이죠 조심해야 합니다 이 함수는 x축 밑에 있습니다 그래서 이 넓이를 구하고 음수로 만들어야 합니다 그래서 이 넓이를 구하고 음수로 만들어야 합니다 이건 반지름이 1인 원의 반입니다 원의 넓이는 𝜋r²이고 따라서 𝜋1²입니다 한바퀴 모두 해당한다면 그렇지만 이건 원의 반입니다 따라서 2로 나눕니다 그리고 함수가 x축 밑에 있기 때문에 음수가 되어야 합니다 이것은 -𝜋/2입니다 다 했습니다