극값 구하기 예제

그래서 g(x)를 구하면 (x⁴ - x⁵) 과 같은 식이 나옵니다 그리고 g의 그래프를&nbsp;그리지 않고도 어떤 x값에서 그래프 g가 극대를 갖는지 알아보고자 합니다 극대에서 어떤 일이 생기는지 상기시키기 위해 여기 가상의 함수를 그려볼게요 극대가 생길거고 여러분은 이를 눈으로 볼 수 있어요 좋아요, 이건 극대처럼 보입니다 산이나 언덕의 정상 같은 거에요 이것들은 모두 극대처럼 보이는데 공통점이 무엇일까요? 이 함수는 이&nbsp;각각의 점들에서 증가했다가 감소합니다 함수가 증가했다가 감소하는 것입니다 두 점에서 모두 증가했다가 감소한다고 할 수 있고 혹은 1차 도함수가 양에서 음으로 간다고 할 수 있습니다 그래서&nbsp;바로 여기&nbsp;있는&nbsp;간격을 보면 g'>0입니다 그리고 다음 간격에서 감소시킬 때 g'<0입니다 그래서 우리가 생각해보아야 할 것은 g'이 언제, 잠시만요 지금 극댓값을 살펴보고 있는데 이는 궁극적으로 언제 g'이 양에서 음으로 가느냐고 묻고 있는 것입니다 으로부터 으로부터 잘못 썼네요 g'>0에서 g'<0으로 우리가 볼 수 있었던 값이나 점들은 임계점이고 임계점이란 g'이 0이거나 정의되지 않은 점입니다 그럼 생각해보죠 g'(x)가&nbsp;0인 곳이 어디일까요? g'(x)가 0일 때 말입니다 g'(x)를 한번 봅시다 여기있는 거듭제곱을 이용할 건데요, 4x³ -5x⁴ 4x³ - 5x⁴ = 0입니다 x³을 인수로 뽑아낼 수 있어요 x³(4 - 5x) = 0 입니다 이 수식은 x가 0일 때 성립합니다 생략하지 않고 다시 할게요 이 수식은 x³ = 0일 때 혹은 (4 - 5x)=0일 때&nbsp;성립합니다 x³ = 0일 때에는 x = 0인 경우밖에 없습니다 그리고 (4 - 5x)=0일 때에는 양변에 5x를 더해봅시다 4 = 5x라는&nbsp;식이 만들어졌죠 양변을 5로 나누어보면 4/5 = x라는 식이 됩니다 그래서 이것들이 도함수가 0이 되는 두 지점이 됩니다 그렇다면 이 도함수가 정의되지 않는 곳이 있나요? 여기 있는 도함수는 다항식입니다 이 도함수는 또 다른 다항식이고 모든 실수에서 정의됩니다 이 두 개가 임계점이고 임계값이라고 말할 수 있죠 이제 g'이&nbsp;임계점인 이&nbsp;두 점에서 어떤지 생각해봅시다 이걸 상상해볼 수&nbsp;있도록 여기에 작은 수직선을 하나 그릴게요 자, 작은 수직선이에요 0과 4/5를 생각해봅시다 이걸 -1이라고 하고 이건 0, 이걸 1이라고 합시다 임계점 하나가 여기에 있는데, 자홍색으로 할게요 임계점 하나가 x가 0일 때 있고 또 다른 임계점도 존재해요 그 임계점은 x가 4/5일 때로 할게요 4/5가 이 쯤에 있겠죠 이게 4/5고, 한번 생각해봅시다 g'이 이 구간들에서 어떤지 이 임계점들은 유일한 지점입니다 g'이 부호를 바꾸는 그럼 이걸 생각해봅시다 제가 한 번도 써보지 않은 색깔로 해볼게요 구간을 생각해봅시다 음의 무한대에서 0까지의 이게 음의 무한대에서 0까지의 열린 구간이고 값을 대입할 수 있어요 -1을 대입해봅시다 -1이 간단할 것 같아요 그래서 4 × (-1)³ 라는 식이 나옵니다 4 × (-1) - 5 × (-1)⁴ 이 됩니다 (-1)⁴ = 1이기 때문에 (-4) - 5가 됩니다 -9가 되고 바로 여기서 g'은 -9가 됩니다 이 구간이 이&nbsp;임계점의 왼쪽이기 때문에 음의 구간 전체를&nbsp;알 수 있어요 g'<0이기 때문에 이 함수는 이 구간에서&nbsp;감소합니다 함수가 증가했다가 감소한다는걸 알고 있어요 그런데 이 점의 왼편에서 이미 감소하고 있기 때문에 이 임계점에서 증가했다가 감소할 수 없다고 생각할 수도 있어요 그치만 다른 구간에서는 어떤지를 한번 생각해봅시다 0과 4/5 사이의 구간에서 바로 여기 있는 구간이요 0과 4/5 사이이고요, 여기의 한 점을 시험 삼아 볼게요 어떤 수가 좋을까요, 1/2로 해 볼까요? 꽤 간단할 것 같아요 그래서 g'(1/2)를 계산할 수 있고 g'(1/2) = 4 × (1/2)³ 입니다 (1/2)³ = 1/8입니다 4/8는 1/2와 같고 (1/2)&nbsp;- 5 × (1/2)⁴ = 1/2 - 5/16입니다 그래서 8/16 - 5/16 = 3/16이 됩니다 그러나 중요한건 이게 양의 값을 갖는다는 겁니다 여기 파란 구간에서, 4/5가 그 구간에 속한게 아니라는걸 알도록 이걸 다른 색깔로 놓을게요 여기 밝은 파란색 구간에서 0과 4/5 사이의, g' g'(x)는 0보다 큽니다 이제 우리는 함수가 증가한다는 걸 알죠 여기서는 어떤 일이 생기는지 봅시다 판정하기 가장 쉬운 값은 1일거에요 x = 1일 때를 계산해봅시다 1은 이 구간 안에 있죠 x가 1일 때, 한번 써볼게요 g'(1) = 4 - 5입니다 4-5<0이에요 그래서 g'(x)는 0보다 작습니다 g'(x)<0이에요 그럼 우리는 함수 g가 여기서 증가한다고 할 수 있습니다 감소하고요 미안합니다, 조심할게요 g는 여기서 감소합니다 함수는 감소해요 도함수가 음의 값을 갖기 때문에 그러면 함수는 여기서 증가합니다 도함수가 양의 값을 갖기 때문에 그리고 함수는 여기서 감소합니다 그러면 어떤 임계점에서 증가했다가 감소할까요? x가 4/5 일 때를 봅시다 x가 4/5 일 때 극대값을 갖죠 4/5 일 때요, 만약 어느 위치에서 극소점을 갖지? 라고 묻는다면 x가 0일 때 생길겁니다 함수가 어디에서 감소하고 증가하는지 찾는 것은 극대점을 찾는 문제에서 도움이 될 수 있습니다 커넥트 번역 봉사단 | 정지원