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극값을 구할 때 하는 실수 예시 1

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파멜라는 함수 x^3 - 6x^2 + 12x의 상대적 극값을 구한다고 합니다 이게 파멜라가 쓴 답입니다 1단계는 함수를 미분을 하고 2단계에서는 해를 찾습니다 미분 함수의 값이 0일 때이죠 이는 x = 2일 때입니다 따라서 2가 임계점이라고 합니다 3단계에서는 상대적 극값이 x = 2라고 합니다 파멜라의 풀이가 맞나요? 틀렸다면 어느 부분이 틀렸나요? 영상을 멈추고 이 풀이가 맞는지 확인해보세요 이 문제를 다시 풀어봅시다 먼저 이 함수를 미분해봅시다 h'(x)는 멱의 법칙을 사용하면 3x^2 x^3의 미분값이죠 2x -6은 -12이죠 따라서 -12x입니다 그리고 12x의 미분값은 12입니다 이 식을 3으로 묶습니다 따라서 이는 3(x^2 - 4x + 4)입니다 이 식은 (x-2)^2와 같죠 따라서 이는 3(x - 2)^2입니다 따라서 1단계는 맞습니다 2단계는 h'(x) = 0의 해가 x = 2라고 합니다 네 맞습니다 3(x - 2)^2이 h'(x)와 같죠 0과 같다면 이 식은 x = 2일 경우 참입니다 따라서 첫 번째 도함수가 0과 같은 경우는 혹은 정의되지 않는 경우는 이는 임계점입니다 2단계도 맞네요 3단계는 h가 상대적 극값을 x = 2에서 가진다고 합니다 큰 결론을 내렸네요 도함수의 값이 0이기 때문에 상대적 극값을 가진다고 합니다 이 결론이 맞는지 봅시다 상대적 극값을 가지기 위해선 곡선이 이와 같은 모양을 띄어야 합니다 그렇다면 이 점이 상대적 최댓값이죠 여기서 기울기는 양이고 0에 다다르며 음의 값이 됩니다 혹은 다른 모습을 띄겠죠 이는 최댓값입니다 이 경우는 최솟값이겠죠 이 점에서 말이죠 최솟값에선 기울기가 0이지만 이 전은 음수였습니다 그리고 양수가 되죠 c의 값이 존재합니다 하지만 첫 번째 도함수가 0인 경우가 있습니다 이렇게 말이죠 이 점에서 기울기 혹은 도함수가 0과 같습니다 따라서 첫 번째 도함수가 0입니다 기울기가 양수였다가 0이 되고 또 양수가 됩니다 따라서 도함수의 값이 0이라고 해서 이 때의 값이 극값이라고 할 수 없습니다 임계점이라고 할 순 있죠 이와 같은 결론을 내려면 도함수가 이 점의 전과 후가 어떤지 확인해야 합니다 그리고 방향이 바뀌는지 확인합니다 확인을 해봅시다 표를 하나 그립니다 x와 h'(x)의 값이죠 x=2일 때 h'(2)는 0입니다 임계점이죠 x = 1일 경우를 봅시다 3일 경우도요 2의 양 방향의 값을 체크하는겁니다 x = 1일 경우 h'(1)은 3(1-2)²입니다 이는 3 x 1이고 3이죠 3일 경우는 3 x 1² 3이 되겠죠 여기에 그린 상황과 같습니다 기울기가 양수였다 임계점에서 0이 되고 다시 양수가 됩니다 따라서 극값인지 확인을 하려면 이와 같이 체크를 해야 합니다 이는 극값이 아니죠 이는 최댓값 혹은 최솟값이 아닙니다 따라서 파멜라의 풀이는 틀렸습니다 3단계가 틀렸습니다 이 결론을 내리기 위해선 임계값의 양 옆 값을 확인해야 합니다