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극값을 구할 때 하는 실수 예시 2

동영상 대본

에린은 f(x) = (x^2 - 1)^2/3이 에린은 f(x) = (x^2 - 1)^2/3이 극댓값을 가지는지 구해야 합니다 풀이는 다음과 같네요 다음과 같이 풀이를 주고 에린의 풀이가 맞는지 묻습니다 틀렸다면 어디가 틀렸나요? 영상을 멈추고 한 번 알아보세요 에린이 맞았나요 아니면 틀렸나요? 어디서 실수를 했나요? 같이 풀어보죠 풀이에 따르면 도함수는 다음과 같습니다 에린의 풀이 바로 오른쪽에 풀어볼게요 f'(x)는 연쇄법칙을 사용할게요 먼저 함수의 바깥쪽을 구하고 그 다음 안쪽을 구합니다 따라서 이는 2/3 ᐧ (x^2-1)^(2/3 - 1)이며 따라서 (x^2 - 1)^-1/3입니다 그리고 여기에 x에 대하여 구한 안쪽 함수의 도함수를 곱합니다 따라서 x에 대하여 x^2 - 1을 미분하면 2x입니다 화재경보가 울리네요 조금 시끄럽군요 소방차가 밖에 있네요 하지만 지나갔습니다 에린이 풀은 결과와 같네요 2x에 2를 곱하면 4x가 됩니다 여기 분모가 3입니다 (x^2 - 1)^-1/3은 1/(x^2 - 1)^1/3과 같죠 1/(x^2 - 1)^1/3과 같죠 이는 (x^2 - 1)의 세 제곱근과 같습니다 따라서 1단계는 맞네요 도함수가 맞습니다 2단계는 임계점이 x=0이라고 하네요 임계점은 일계도함수가 0이거나 정의되지 않았을 때입니다 따라서 f'(0)은 4 x 0에 이는 0 /∛(-1)이고 이는 0 /∛(-1)이고 따라서 이는 3 x -1 곧 0 / -3입니다 이는 0과 같네요 2단계도 맞습니다 임계점은 x = 0일 경우입니다 하지만 이 점은 그저 임계점에 불과한가요? 이전에 말했듯이 임계점은 함수의 도함수가 0과 같거나 정의되지 않는 점입니다 이 점이 도함수가 0인 유일한 점이지만 도함수의 값이 정의되지 않는 x의 값을 구할 수 있나요? 그렇다면 도함수를 도함수의 분모가 0이 되도록 하는 값이 무엇인가요? x^2 - 1이 0과 같다면 0의 세 제곱근을 구하고 분모가 0이 될 것입니다 그렇다면 어떤 값이 x^2 - 1이 0이 되도록 하나요? x가 1 혹은 -1일 경우이죠 이 두 점도 f'(x)의 값이 정의되지 않게 하므로 임계점입니다 2단계가 올바르지 않은 것 같네요 x = 0이 임계점인 것은 맞지만 유일한 임계점은 아닙니다 따라서 표시를 해줍시다 이게 중요한 이유는 이 임계점들을 알아채지 못한 것이 뭐가 문젠가요? 라고 물을 수도 있습니다 하나를 찾았죠 아마 이 점이 극댓값일 수 있습니다 하지만 다른 영상에서 말했듯이 일계도함수 판정법을 사용하려면 그리고 일계도함수가 0인 경우를 찾으려면 이 점이 최댓값 혹은 최솟값인지를 판별하려면 값의 양쪽의 값을 체크해서 도함수의 부호에 변화가 있는지 확인합니다 하지만 양쪽 값을 확인할 때 다른 임계점을 넘어가지 않도록 주의해야 합니다 왜냐하면 임계점이 방향을 바꿀 수 있는 점이기 때문이죠 3단계를 한번 봅시다 3단계를 한번 봅시다 여기 3단계는 테스트를 하네요 임계값의 양쪽 값을 위에서 찾은 임계값의 양쪽 값을 확인합니다 여기서 틀린 점은 0보다 작은 다른 임계값을 넘어가기 때문이죠 그리고 이는 0보다 큰 다른 임계값보다 큽니다 이는 임계값 1보다 크며 -1보다 작습니다 x가 0.5일 경우와 -0.5일 경우를 확인했어야 합니다 따라서 에린은 아마 -2, -1 -1/2, 0 1/2, 1 이 값은 정의되지 않는 값이죠 2를 시도해 봤어야 합니다 왜냐 하면 이는 예비 극값들이기 때문이죠 왜냐 하면 이는 예비 극값들이기 때문이죠 왜냐 하면 이는 예비 극값들이기 때문이죠 따라서 다음 중 어떤 상황에 도함수의 부호 변화가 있는지 알고 싶습니다 그리고 극값의 사이에 있는 구간을 확인하고 싶습니다 따라서 에린이 한 실수는 2단계에서 모든 임계점을 찾지 않은 것입니다