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미분학

코스: 미분학 > 단원 5

단원 4: 극솟값과 극댓값
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극솟값과 극댓값
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도함수 판정법으로 극값 구하기

구글 클래스룸
도함수 판정법은 함수의 극값을 도함수를 사용해서 구하는 과정을 나타냅니다. 많은 단계가 필요하므로 이 과정을 배우고 자주 하는 실수를 살펴봅시다.
함수의 방정식만 있으면 모든 최댓값과 최솟값을 찾을 수 있다면 어떨까요? 그런 방법이 있습니다! 이 과정은 일계도함수 판정이라고 합니다. 이를 중요한 부분을 빠트리거나 실수를 하지 않도록 하는 방법으로 알아봅시다.

예제: f(x)=x2x−1의 극값 찾기

1단계: f′(x) 찾기
f의 극값을 찾으려면 f′을 사용해야 합니다. 따라서 f를 미분하는 것으로 시작합니다.
f′(x)=x2−2x(x−1)2
2단계: 모든 임계점과 f가 정의되지 않은 점 찾기.
함수 f의 임계점은 f의 정의역 안에 있는 f′(x)=0이거나 f′이 정의되지 않는 x값입니다. 이와 함께 f 자체가 정의되지 않은 점도 보아야 합니다.
이 점에서 중요한 점은 연속하는 두 점의 f′의 부호가 같아야 한다는 것입니다.
이 경우 그 점은 x=0, x=1, x=2입니다.
3단계: 증가하거나 감소하는 구간 분석하기
이는 여러 방법으로 할 수 있지만 부호 차트를 사용해 보도록 합시다. 부호 차트는 2단계에서 찾은 값이 만드는 각 구간마다 값을 골라 그 값에서 도함수의 부호를 알아보는 것입니다.
위 함수의 부호 차트는 다음과 같습니다:
구간테스트 x값f′(x)결론
(−∞,0)x=−1f′(−1)=0.75>0f는 증가합니다 ↗
(0,1)x=0.5f′(0.5)=−3<0f는 감소합니다 ↘
(1,2)x=1.5f′(1.5)=−3<0f는 감소합니다 ↘
(2,∞)x=3f′(3)=0.75>0f는 증가합니다 ↗
4단계: 극값 찾기
이제 f가 증가하고 감소하는 구간을 알았으니 극값을 찾을 수 있습니다. 극값은 f가 정의되었을 뿐만 아니라 f′의 부호가 바뀌는 점입니다.
이 경우:
  • f는 x=0 전에 증가하고 후에 감소하며 x=0에 정의 되었습니다. 따라서 f는 x=0에 극대인 점을 가집니다.
  • f는 x=2 전에 감소하고 후에 증가하며 x=2에 정의됩니다. 따라서 f는 x=2에 극소인 점을 가집니다.
  • f는 x=1에서 정의되지 않으므로 이 점에서 극값을 가지지 않습니다.
연습문제 1
제이슨은 f(x)=2x3+18x2+54x+50이 어디에 극값을 가지고 있는지 찾았습니다. 다음은 제이슨의 풀이입니다:
1단계: f′(x)=6(x+3)2
2단계: f′(x)=0의 해는 x=−3입니다.
3단계: f는 x=−3에 극값을 가집니다.
제이슨의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 임계점을 확인하지 않는 것

기억하세요: 모든 임계점이 극값이라고 생각해서는 안 됩니다. 대신 임계점을 확인해서 함수가 각 점에서 정의되어 있고 도함수가 부호를 바꾸는지 확인해야 합니다.
연습문제 2
에린은 g(x)=(x2−1)2/3이 극값을 가지고 있는지 찾고 있습니다. 다음은 에린의 풀이입니다.
1단계: g′(x)=4x3x2−13
2단계: 임계점은 x=0입니다.
3단계:
구간테스트 x 값g′(x)결론
(−∞,0)x=−3g′(−3)=−2<0g 는 감소합니다 ↘
(0,∞)x=3g′(3)=2>0g 는 증가합니다 ↗
4단계: g는 x=0 전에 감소하고 후에 증가하므로 x=0에 극소가 있고 극대는 없습니다.
에린의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 도함수가 정의되지 않은 점을 포함하지 않는 것

기억하세요: 증가하고 감소하는 구간을 분석할 때, 도함수가 0인 점 뿐만 아니라 함수가 도함수가 정의되지 않은 점도 찾아야 합니다. 이 점들을 놓친다면 올바르지 못한 부호 차트를 얻을 수 있습니다.
연습문제 3
제이슨은 h(x)=x2+1x2이 극대를 가지고 있는지 찾았습니다. 다음은 제이슨의 풀이입니다:
1단계: h′(x)=2(x4−1)x3
2단계: 임계점은 x=−1, x=1이고 h는 x=0에 정의되어 있지 않습니다.
3단계:
구간테스트 x값h′(x)결론
(−∞,−1)x=−2h′(−2)=−3.75<0h는 감소합니다 ↘
(−1,0)x=−0.5h′(−0.5)=15>0h는 증가합니다 ↗
(0,1)x=0.5h′(0.5)=−15<0h는 감소합니다 ↘
(1,∞)x=2h′(2)=3.75>0h는 증가합니다 ↗
4 단계: h는 x=0 전에 증가하고 후에 감소하므로 h는 x=0에 최댓값을 가집니다.
제이크의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 함수의 정의역을 확인하지 않는 것

기억하세요: 함수가 방향을 바꾸는 점을 찾고 나서 함수가 그 점에서 정의되어 있는지를 꼭 확인해야 합니다. 그렇지 않다면 그것은 극값이 아닙니다.

일계도함수 판정 적용 연습하기

연습문제 4
f(x)=x3+6x2−15x+2입니다.
어떤 f의 극대인 x값은 무엇인가요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 5
g가 다항식이고 그 도함수 g′은 g′(x)=x(x+2)(x+4)2이라고 합시다.
g의 그래프에는 극대가 몇 개 있나요?
정답을 한 개 고르세요:

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어 보세요.

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