주요 내용
미분학
극대 & 극소 복습
미적분학을 이용해 극점(극대점과 극소점)을 구하는 방법을 복습해 봅시다.
미분법을 이용하여 극대점과 극소점을 어떻게 찾을 수 있나요?
극대점이란, 함수가 증가에서 감소로 바뀌는 점을 말합니다 (그래프에서 그 점이 "그 부근에서 가장 큰 함숫값을 가진 점"으로 보입니다).
비슷하게, 극소점이란, 함수가 감소에서 증가로 바뀌는 점을 말합니다 (그래프에서 그 점이 "그 부근에서 가장 작은 함숫값을 가진 점"으로 보입니다).
함수의 증가 & 감소 구간을 찾을 수 있다고 가정했을 때, 극값을 찾기 위해선 한 단계만 더 거치면 됩니다: 함수의 증가, 감소가 바뀌는 점을 찾아야 합니다.
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예제
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7의 극값을 찾아 보세요. 먼저, f를 미분해 봅시다:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
임계점은 x, equals, minus, 3과 x, equals, 1입니다.
각 구간에서의 f, prime를 계산하여 해당 구간에서 양수인지 음수인지 확인합시다.
| 구간 | x값 | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | 결론 |
|---|---|---|---|
| x, is less than, minus, 3 | x, equals, minus, 4 | f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 | f는 증가합니다. \nearrow |
| minus, 3, is less than, x, is less than, 1 | x, equals, 0 | f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0 | f는 감소합니다. \searrow |
| x, is greater than, 1 | x, equals, 2 | f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 | f는 증가합니다. \nearrow |
이제 임계점을 확인해 봅시다:
| x | 이전 | 이후 | 결론 |
|---|---|---|---|
| minus, 3 | \nearrow | \searrow | 극대 |
| 1 | \searrow | \nearrow | 극소 |
따라서, 함수는 x, equals, minus, 3에서 극대값, x, equals, 1에서 극소값을 갖습니다.