예제: 적분 구간 쪼개기

여기에 있는 함수는 t에 대한 함수 g입니다 그리고 새로운 함수를 하나 정의해봅시다 이 함수를 G(x)라고 하고, 이 함수는 t=-3부터 t=x까지의 g(t)의 t에 대한 정적분 함수입니다 우리는 방금 G(x)를 정의내렸고 이 정의를 이용하여 몇몇 값들을 구해보도록 합시다 G(x)의 값을 계산해봅시다 x가 4일 때 또는 x가 8일 때 G(x)의 값을 구해봅시다 지금 동영상을 멈추고 한번 이 값들을 어떻게 구할 수 있을지 혼자 생각해 본 다음 동영상으로 돌아오세요 G(4)에 대해 먼저 알아보도록 합시다 x가 만약 4라면 최대값이 4가 되므로 이 값은 t=-3 부터 t=4까지 g(t)를 정적분한 값이 될 것입니다 그렇다면 이 값은 무엇과 같을까요? 이 그래프를 보면 여기에 t=-3이라는 값이 있습니다 t=-3 그리고 t=4까지 가서 오렌지 색으로 표시하겠습니다 여기에 끝에 있는 t=4까지 진행합니다 그래서 G(4)를 계산하는 방법 중 하나는 t축 위에 있고 그래프 아래에 있는 면적을 구하는 것입니다 여기에 있는 면적을 뜻하는 것이죠 t축 위와 그래프 밑인 이 부분입니다 하지만 노란색으로 칠해놓은 이 부분을 전체 면적에 더하지는 않을께요 왜냐하면 노랑색으로 칠해놓은 부분은 음의 값을 가지기 때문입니다 왜 이 부분은 음의 값을 가질까요? t와 g사이에 해당하는 면적을 구해야하지만 이 부분은 정반대로 되어 있기 때문입니다 이 부분은 t축 아래에 있고 g 위에 있죠 그래서 이를 해결하는 방법 중 하나는 전체를 부분 부분들로 나누는 것입니다 칠판을 좀 지우고 설명해봅시다 그래서 이 부분이 어떤 값과 같냐면 여기 보라색으로 칠한 부분은 t=-3부터 t=0까지의 g(t)dt의 적분과 같고 다른 색깔을 써서 표현하자면 t=0부터 t=4까지 g(t)dt의 적분값을 더한 값과 같습니다 이제 각 색깔로 칠한 부분의 값은 어떻게 될까요? 그래서 이 삼각형은 밑변이 3이고 밑변의 길이가 3이고 높이가 3인 삼각형입니다 따라서 3 곱하기 3, 9를 2로 나누면 왜 나누냐면 3 곱하기 3은 전체 사각형의 넓이를 뜻하는데 삼각형은 그의 반이기 때문입니다 그래서 이 부분의 넓이는 4.5가 됩니다 4.5가 될 것입니다 그렇다면 이 노랑색 부분의 면적은 어떻게 될까요? 한 번 봅시다. 이 삼각형의 밑면 너비는 4이고 높이도 4이기 때문에 4 전체 정사각형의 넓이는 16이 됩니다 다시 이를 반으로 나누면 8이 됩니다 우리는 이것을 단순히 더하면 안됩니다 다시 한번 말하지만 이 부분은 음의 값을 가지게 때문입니다 여기에 있는 그래프는 T축 아래에 있습니다 그렇기 때문에 이 적분은 -8로 계산됩니다 다시 한 번, 왜 이것이 -8일까요 그래프가 T축 아래에 있기 때문입니다 그렇다면 우리는 무엇을 알 수 있을까요 우리는 핑크색 영역에서 노랑색 영역의 크기를 뺀 넓이인 G(4)의 값을 알 수 있습니다 4.5 빼기 8은 -3.5가 될 것입니다 -3.5 그러면 이제 G(8)은 얼마일지 알아봅시다 그러면 이제 G(8)은 얼마일지 알아봅시다 만약 여러분들이 처음에 이해할 수 없었다면 잠시 멈추고 우리가 G(4)의 값을 구했던 것처럼 G(8)의 값이 뭘지 생각해보세요 g(8)을 구하는 방법을 생각해보면 핑크색 영역에서 노랑색 영역을 뺀다음 나머지 부분들을 더할 것입니다 우리가 생각해 볼 영역이 2개 남았네요 우선 t값이 8인 부분까지 쭉 가서 선 하나를 그립니다 우리는 이 부분에 대해서 알아볼 것이고 노랑색으로 칠해지고 있는 부분 그 다음으로는 이 부분에 대해 알아볼 것입니다 따라서 이것은 적분은 보라색으로 쓰도록 하죠 보라색으로 쓰도록 하죠 t가 -3에서 0까지 g(t), dt 더하기 이 노랑색 영역을 더할 것 입니다 우리가 예전에 알아보았던 부분과 이 노랑 부분을 더해서 말이죠 따라서 정적분 t=0 에서부터 6까지 g(t) dt 마지막으로 정적분 t=6에서 부터 8까지를 더해줍니다 우리는 벌써 첫번째 부분이 4.5라는 사실을 압니다 그렇다면 다음 것은 어떨까요 삼각형 모양이네요 "밑변의 길이가 6이고 높이는 4 6 곱하기" 4는 24이고 24 나누기 2는 12입니다 따라서 두번째 부분은 12일 것이고 마지막 이 부분은 얼마일까요 아 그리고 조심해야하는데 이 부분은 t축 아래에 있기 때문에 -12가 되어야 합니다 드디어 마지막 다시 양수인 영역이 남아있습니다 t축 위에 있기 때문이죠 자 그럼 봅시다 2 곱하기 4는 8 나누기 0.5 는 4 그러면 우리는 4 4를 얻게 됩니다 지금까지 한 걸 보면 4.5 더하기 4 는 8.5이고 빼기 12는 이것은 무엇과 같냐면 8 빼기 12 는 -4가 될 것이고 0.5를 더하면 또 -3.5가 나오네요 그렇다면 왜 이 두 적분이 같은 값을 가질까요? 이 부분에서 어떤 일이 일어났는지 살펴봅시다 우리가 G(4)와 G(8)을 구할 때 우리는 이 부분을 빼고 여기에 있는 부분을 더했습니다 그리고 이 두개의 삼각형은 값은 넓이를 가지고 있습니다 우리는 같은 크기의 넓이를 빼고 더했기 때문에 같은 값을 얻은 것이지요