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주요 내용

적분식으로 정의된 함수: 심화 문제

적분식으로 정의된 함수가 0일 경우 값을 구해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

여기 함수 f의 그래프가 있습니다 f는가로축의 변수인 t의 함수라고 합시다 이것이 t 축입니다 이것은 t에 대한 함수, f(t)입니다 이제 다른 함수를 정의해 봅시다 이 함수를 대문자 F로 쓰는데 t의 함수가 아니라 x의 함수가 됩니다 함수 F(x)는 t의 값이 -5부터 x일 때까지의 정적분으로 정의합니다 x를 같은 색으로 표시해 눈에 띄게 합시다 F(x)는 t가 -5부터 x까지 f(t)의 정적분입니다 혼란스럽지 않도록 대문자 F와 소문자 f를 쓰지 말고 소문자 g나 대문자 G를 써야 했는데 t의 함수인 소문자 f, x의 함수인 대문자 F를 구분해 말하겠습니다 x의 함수인 대문자 F는 t가 -5부터 x까지 f(t)의 정적분입니다 이 정의를 이용해서 F(x) = 0이 되는 x 값을 찾으려고 합니다 F(x) = 0이 되는 x 값을 찾으려고 합니다 이것을 써 보죠 어떤 x 값에서 이 식이 참 일까요? 어떤 x 값에서 이 식이 참 일까요? 어떤 x 값에서 이 식이 참 일까요? 비디오를 잠시 멈추고 스스로 생각해 보세요 그 뒤에 같이 풀어봅시다 모두 생각해 보셨다고 믿고 F(x)가 무엇인지 생각해 봅시다 이렇게 생각해 볼 수 있습니다 F(x)는 t가 -5부터 x까지 f(x) 아래와 t축 위의 면적입니다 f(x) 아래와 t축 위의 면적입니다 함수가 축 아래 있어 t축 아래와 함수 위쪽의 면적을 구해야 한다면 면적은 음수가 됩니다 t가 -5일 때를 살펴 보면 여기 표시한 경계가 t가 -5인 선입니다 x값이 -2라고 해 봅시다 x값은 이렇게 표시할 수 있겠죠 F(x)는 이 면적을 가리키는데 함수가 t축 아래에 있으므로 음의 면적이 됩니다 따라서 F(-2)는 음수입니다 그러면 면적을 0으로 만드는 x값은 무엇일까요? 금방 생각나는 값이 있습니다 x를 -5로 놓으면 x를 -5로 놓으면 너비가 없기 때문에 면적도 0이 됩니다 대문자 F(-5)는 대문자 F(-5)는 t가 -5에서 -5까지 f(t)의 정적분입니다 t가 -5에서 -5까지 f(t)의 정적분입니다 t가 -5에서 -5까지 f(t)의 정적분입니다 두 경계가 같으므로 너비가 없어 면적은 0이 됩니다. 이 식의 값은 0이 됩니다 x = -5는 F(x)를 0으로 만드는 x값 중 하나입니다 x = -5는 F(x)를 0으로 만드는 x값 중 하나입니다 이런 값을 더 찾을 수 있는지 봅시다 여기를 지우고 t = -5에서 시작해서 t = -5에서 시작해서 x가 점점 더 커집니다 x가 -3이 되면 빗금친 부분의 면적은 -5에서 -3까지 움직였으니까 이 거리는 2입니다 이 높이는 4입니다 따라서 이 넓이는 2x4x1/2로 4가 됩니다 함수 위쪽과 t축 아래 면적이므로 F(x) 값은 -4가 됩니다 x = -5면 F(x) = 0이고 오른쪽으로 갈 수록 점점 더 많은 음수 값을 얻게 됩니다 점점 더 많은 음수 값을 얻게 됩니다 이 점은 선택한 이유는 여기에서 함수가 변화하기 때문입니다 x가 커지면 이 영역은 더 많은 음의 넓이를 F(x)에 더하게 됩니다 x가 커지면 이 영역은 더 많은 음의 넓이를 F(x)에 더하게 됩니다 이 영역은 1/4 원처럼 보입니다 반지름이 4인 원의 1/4이죠 x가 5가 될 때까지 반지름이 4인 1/4 원이 하나 더 있습니다 이 넓이는 양의 값을 갖는데 함수가 t축 위에 있기 때문입니다 x = -5에서 F(x) = 0입니다 x = -5에서 F(x) = 0입니다 x가 점점 더 커지면 면적도 점점 더 큰 음수가 됩니다 여기서부터는 음수값이 작아지는데 양의 면적을 더하기 시작하기 때문입니다 x = 2를 예로 들어보면 이 부분은 양수이지만 앞에 큰 음수 면적이 더해져 있어 여전히 전체 면적은 음수입니다 하지만 더 많은 양수를 더할수록 면적은 작은 음수값이 됩니다 x가 5까지 증가하면 이 1/4 원의 양의 면적은 이 1/4 원의 양의 면적은 이 1/4 원의 음의 면적을 정확히 상쇄하게 됩니다 면적의 값이 무엇인지 생각할 필요도 없습니다 pi R^2 같은 공식으로 계산할 순 있지만요 이 -4를 상쇄하는 양의 면적을 계속 더하게 됩니다 어떻게 면적이 더해질까요? 이 높이는 4입니다 그래서 너비가 1이고 높이가 4인 사각형을 더하면 여기 표시한 양의 면적 4를 더하게 됩니다 이 값이 +4이고 이 -4를 상쇄하게 됩니다 따라서 x = 6일 때 F(x) = 0이 됩니다 따라서 x = 6일 때 F(x) = 0이 됩니다 수식으로 적어 봅시다 F(6)는 -5에서 6까지 f(t)의 정적분 입니다 F(6)는 -5에서 6까지 f(t)의 정적분 입니다 F(6)는 -5에서 6까지 f(t)의 정적분 입니다 F(6)는 -5에서 6까지 f(t)의 정적분 입니다 F(6)는 -5에서 6까지 f(t)의 정적분 입니다 이 식을 분해할 수 있습니다 지금까지 자세히 살펴보았지만 한번 더 확인해 봅시다 그래프에 표시한 색과 맞추어 수식을 쓰도록 하겠습니다 그래프에 표시한 색과 맞추어 수식을 쓰도록 하겠습니다 F(6)는 -5부터 -3까지 f(t)의 정적분 -5부터 -3까지 f(t)의 정적분 더하기 -3에서 1까지 f(t)의 정적분 더하기 -3에서 1까지 f(t)의 정적분 더하기 1에서 5까지 f(t)의 정적분 이 식은 이 면적을 표현합니다 마지막으로 5에서 6까지 f(t)의 정적분을 더합니다 마지막으로 5에서 6까지 f(t)의 정적분을 더합니다 마지막으로 5에서 6까지 f(t)의 정적분을 더합니다 이 식은 이 음의 면적을 표현하고 이 식은 이 양의 면적을 표현합니다 이 두 식은 상쇄되어 0이 됩니다 이 면적은 이미 계산한데로 -4입니다 이 면적은 이미 계산한데로 -4입니다 오른쪽 식은 4이므로 두 식이 상쇄되어 0이 됩니다 한 번 더 살펴볼까요? x = -5일 때는 면적이 0입니다 x값을 점점 더 증가합니다 다른 방향으로 갈 수도 있습니다 이 땐 계속 양수 값만 더하게 되어 0으로 돌아가도록 상쇄할 수 없습니다 그러나 x를 -5보다 크게 증가하면 면적 F(x)는 더욱 더 음의 값을 가지게 되고 여기에서 부터 양수 값을 더해 음수 값을 상쇄하게 됩니다 x = 6일 때 음수 값을 완전히 상쇄하게 됩니다