예제: 바로 옆에 붙어 있는 구간들에 의해 정적분 합치기

y = f(x)의 그래프가 있습니다 y = f(x)의 그래프가 있습니다 그리고 이 숫자는 색칠된 부분의 넓이입니다 곡선과 x축 사이의 부분 말이죠 이번 동영상에서는 예제를 보면서 이 정보를 통해 정적분을 계산해보고 정적분의 성질에 대해 배워보겠습니다 예제로 시작합시다 -4에서 -2까지 f(x) dx의 정적분과 -4에서 -2까지 f(x) dx의 정적분과 -2에서 -0까지 f(x) dx의 정적분을 더한 것을 계산한다고 해 봅시다 동영상을 멈추고 이 전체 식을 계산해 보세요 식의 첫 번째 부분은 -4에서 -2까지 f(x) dx의 정적분입니다 -4에서 -2까지 f(x) dx의 정적분입니다 x = -4에서 x = -2입니다 이것이 계산하는 것은 이 넓이 곡선과 x축 사이입니다 하지만 그 넓이의 음수 넓이겠죠 곡선이 x축 밑에 있으니까요 주어진 정보를 이용해 어림해 볼 수도 있지만 주어진 정보를 이용해 어림해 볼 수도 있지만 정확한 값은 나오지 않았습니다 하지만 이 오른쪽도 구해야 합니다 이건 x = -2에서 x = 0까지 f(x) dx입니다 이 넓이에 해당합니다 이 두 정적분의 합을 보면 여기 있는 상한과 여기 있는 하한에 주목하세요 이건 다음과 똑같습니다 x = -4에서 x = -4에서 x = 0까지 f(x) dx의 정적분과 같습니다 그리고 이건 적분의 성질 중 하나입니다 여기 있는 상한이 여기 있는 하한과 같고 같은 함수를 적분한다면 이렇게 두 정적분을 합칠 수 있습니다 이렇게 두 정적분을 합칠 수 있습니다 그리고 이건 이 전체 넓이죠 하지만 x축 밑이고 곡선 위이기 때문에 이 넓이는 음의 넓이입니다 따라서 이건 -7입니다 다른 예제를 봅시다 누군가 길을 가다가 여러분에게 누군가 길을 가다가 여러분에게 제가 지금 적는 식의 값을 물었다고 합시다 제가 지금 적는 식의 값을 물었다고 합시다 0부터 4까지 f(x) dx의 정적분과 4부터 6까지 f(x) dx의 정적분을 더한 것을요 4부터 6까지 f(x) dx의 정적분을 더한 것을요 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 여기서도 이 첫 번째 부분은 0부터 4까지입니다 여기의 넓이 5에 해당합니다 여기의 넓이 5에 해당합니다 그리고 이 넓이를 빼야 하죠 이 넓이는 x축 밑에 곡선 위에 있기 때문입니다 이게 정확히 얼마인진 모르지만 하지만 운좋게도 제가 방금 보여드린 모든 것과 이것 또한 더한 합을 구해야 합니다 이것 또한 더한 합을 구해야 합니다 그리고 이건 4에서 6까지 갑니다 이 넓이에 해당하죠 다시 이렇게 보면 이 식은 0에서 6까지 연속해서 정적분을 구하는 것과 같습니다 0에서 6까지 연속해서 정적분을 구하는 것과 같습니다 0부터 6까지 f(x) dx이죠 그래프를 보지 않아도 알 수 있습니다 둘 모두 f(x) dx의 정적분을 구하고 있고 둘 모두 f(x) dx의 정적분을 구하고 있고 여기의 상한과 여기의 하한이 같기 때문입니다 그래서 적분을 합칠 수 있습니다 이건 무엇과 같을까요? 이 넓이는 5입니다 그리고 이 넓이는 6입니다 이건 주어진 것입니다 하지만 이건 x축 밑과 곡선 위에 있기 때문에 정적분을 계산하면 -6이 됩니다 따라서 이것은 5 + -6으로 -1입니다 따라서 이것은 5 + -6으로 -1입니다 다 했습니다