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주요 내용

적분식으로 정의된 함수: 바뀐 구간

그래프가 제공되었고 적분식으로 정의된 함수의 값을 구합니다. 값을 구하기 위해선 구간의 값을 바꿔야 합니다.

동영상 대본

그림과 같이 f의 그래프가 주어졌을 때 g(x)를 0부터 x까지의 f(t)의 부정적분이라 정의합시다 이 함수를 처음 봤을 때 몹시 어색하게 느껴질 수도 있습니다 적분에 의해 정의되는 함수가 등장하기 때문이지요 변수 x는 적분 범위에서 등장합니다 하지만 다르게 생각해보자면 함수는 어떻게 정의되는지는 크게 중요하지 않습니다 그렇기 때문에 함숫값을 계산하는 과정은 크게 어렵지 않지요 g(-2)의 값을 구해야 합니다 g(-2)의 값이요 -2는 다른 색으로 표시할까요? g(-2)입니다 이제 여기 있는 식을 이용하여 정적분을 계산해야 합니다 앞으로 모든 x는 -2로 쓰도록 하지요 따라서 이 값은 0에서 x까지의 x는 나중에 쓰도록 하지요 f(t)의 적분입니다 x는 -2로 쓸 수 있지요 이게 뭘 의미하는지 어떻게 알아낼 수 있을까요? 아직 그래프는 보지 않았지만 당신은 이것의 의미가 y=f(t)의 아랫부분의 면적이라는 것을 알고 있겠지요 물론 -2와 0 사이에서입니다 하지만 조심해야 할 것은 적분구간의 위끝이 아래끝보다 작다는 것입니다 따라서 이 두 값을 서로 바꿀 수 있다면 이 값을 y=f(t)와 t축 사이의 두 구간 사이의 넓이라고 생각할 수 있겠습니다 두 적분구간을 바꿀 때는 정적분의 값의 부호가 바뀌게 됩니다 -2부터 0까지의 f(t)의 부정적분이 되겠네요 우리가 새로 구한 분홍색으로 표시된 값은 곡선 f의 아랫부분의 -2부터 0까지의 넓이입니다 -2부터 0까지의 넓이이면 이 부분의 넓이가 되겠네요 이 넓이를 구하면 됩니다 이 값은 무엇일까요? 구하는 방법에는 여러 가지가 있습니다 사각형과 삼각형으로 쪼개 생각해볼까요? 이 사각형의 넓이는 4입니다 밑변과 높이가 각각 2이기 때문이지요 그래프에서 한 눈금이 얼마를 가리키는지 주의하시고요 이 경우 한 눈금의 길이가 1이므로 넓이가 4가 되고 이 윗부분의 넓이는 4의 절반입니다 이 전체 부분의 넓이가 4가 되었을 것이기 때문입니다 이 삼각형의 넓이는 4의 절반이므로 2가 됩니다 삼각형의 넓이를 구하는 다른 공식으로는 밑변과 높이의 절반이 있으므로 이 경우 2×2×0.5가 되어 전체 넓이는 6이 됩니다 이 값이 6이 되겠죠 하지만 부호를 잊어서는 안됩니다 따라서 답은 -6이 되며 g(-2)=-6입니다