직접 비교 판정법

[해설]자, 이제 급수가 수렴하는지 발산하는지 결정하기 위한 비교 판정법에 대한 기본적인 이해를 해 봅시다 두 개의 급수에 대해 생각해 봅시다 여기 자홍색 급수가 있습니다 이것은 n=1부터 무한대까지 a_n의 급수이고요 우리는 여기서 일반적인 것을 말해요 다른 것도 하나 쓰자면 이건 n=1부터 무한대까지의 b_n 의 급수입니다 우리는 이 급수들에 대해 몇 가지를 알죠 첫 번째로 우리는 모든 항들은 음수가 아니라는 것을 압니다 그래서 a_n과 b_n은 0이상이 되죠, 이것은 이 급수들이 양의 무한대로 발산하거나 유한한 값으로 수렴할 거라고 예측 가능하게 해 줍니다 그들은 진동하지는 않을 거에요, 음의 값은 없으니까요 음의 무한대로 발산할 수도 없어요 여기는 음수가 없으니까요 자, 이제 우리가 첫 번째 급수의 대응하는 항들이 두 번째 급수의 대응하는 항들보다 작거나 같다는 것을 안다고 해 봅시다 b_n보다 작거나 같은 거죠 다시 한 번, 이것은 모든 n에 대해 성립합니다 n은 1, 2, 3,... 등등의 값을 가지게 되죠 그래서 비교 판정법은 이 급수의 모든 대응하는 항들이 이 급수의 대응하는 항들보다 작고 동시에 0보다 크기 때문에 만약 더 큰 이 급수가 수렴한다면, 그것보다 작은 이 급수도, 이 급수에 의해 상한을 갖는다고 할 수도 있겠네요, 반드시 수렴해야 한다는 것을 알려 줍니다. 저는 여기서 정식 증명은 하지 않았지만, 이것이 당신에게 약간의 직관을 주었을 거에요 그래서 비교 판정법은, 만약에 - 제 머릿속에서 추측하는 바로는 대응하는 항들이 여기 있는 것보다 더 큰 더 큰 급수가 수렴한다면 만약 이것이 무한으로 무한정 발산하지 않는다면, 이것은 유한한 어떤 값으로 수렴할 것이고 그것은 우리에게 그것보다 더 작은 급수도 당연히 수렴할 것이라고 말해 줍니다 그러니까 여기 오른쪽에 있는 것도 수렴해야겠죠 이 급수는 수렴합니다 그래서 이게 왜 유용하죠? 이것은 이후의 영상에서 보게 될 거에요 만약 당신에게 a_n이 있고 이것이 수렴함을 증명하고 싶으며, 이것이 수렴할 거라는 느낌이 올 때, 비교 판정법을 이용하면 그냥 대응하는 항들이 이것보다 더 큰 다른 급수를 하나 찾아 그것이 수렴함을 증명할 수 있다면 이것도 보일 수 있는 거죠 물론 이것은 당신의 원래 급수의 항이 음수가 아닌 경우에 적용이 되겠죠 이제 만약 당신이 다른 방법으로 갔다면요? 만약 당신이 자홍색 급수가, 더 작은 쪽이죠, 따옴표로 묶을게요, 여기 이것은 더 작습니다, 대응하는 항들이 더 작아요, 만약 당신이 이것이 발산함을 증명한다면요? 만약 이것이 발산하면, 무한으로 발산하겠죠 음의 무한대로 가지는 않을 거에요 모든 항들이 양수니까요 진동하면서 발산하지는 않을 거에요 그러려면 두 값 사이에서 진동해야 하니까요 다시 말하면 이것은 두 값 사이에서 진동해야 하고, 그럴 수 있는 방법은 음수 항을 갖는 방법뿐이기 때문에 이것은 무한대로 발산하게 됩니다 만약 이것에 상한이 없다면, 대응하는 이 값들이 더 크므로, 이것 역시 상한이 없겠죠 그걸 써 봅시다 비교 판정법에 의하면 만약 더 작은 급수가 발산하면, 더 큰 급수도 반드시 발산해야 한다 다시 말하면, 당신은 여기 이것이 발산함을 증명하고 싶었습니다 만약 당신이 모든 b_n의 항들이 0 이상임을 알고 이것이 발산함을 증명하고 싶을 때, 당신은 다른 급수를 찾아 볼 수 있겠죠 대응하는 모든 항이 더 작은 급수를요 이 급수보다요 그리고 이것이 발산함을 증명하면 끝나겠죠 다음 비디오에서 그것들을 시작해 볼게요