증명: 발산하는 조화 급수

이 작품은 "니콜 오렘"을 그린 것입니다. 이 비디오를 만들기 전에 (니콜 오렘을) 어떻게 읽는지 찾아보았는데요, 아직도 잘못 발음하는 것 같네요. 그 시대에 있었던 모든 프랑스인들에게 사과드립니다.ㅎㅎ 니콜 오렘은 프랑스의 유명한 철학자이자 수학가였습니다. 14세기 중세 프랑스에서요. 그는 증명으로 유명한데 조화수열이 발산하다는 사실을 증명했습니다. 미리, 조금 살펴보자면, (마우스 봐주세요) 이것이 조화급수 입니다. 1 더하기 1/2 더하기 1/4 더하기 1/5 말입니다. 제가 처음에 딱 든 생각은 이 조화급수를 봤을때요, 이 급수가 수렴하는지 발산하는지, 잘 이해가 되지 않았습니다. 아이고,,그래도 모든 항들이 양수이고, 0에 가까워지고 있어서 수렴한다고 생각했습니다. 하지만 니콜 오렘은 이것을 다르게 보았습니다. 이는 수학에서 가장 유명하고 우아한 증명인데요, 수학적으로 이 수열의 합이 발산한다는 사실입니다. 그가 한 방법을 설명해드리겠습니다. 이 조화수열에 있는 모든 항들을 다른 수로 고쳤습니다. (마우스 보세요) 이 항보다 모두 같거나 작게 말이죠. 그가 고쳐낸 항들로 이루어진 수열의 합이 발산한다는 것을 증명하면서 원래의 수열보다 작고거나 같게 고친 수열들로요. 각각의 항들이 원래의 항들보다 작거나 같으니까요. 둘울 비교해보면 알 수 있겠죠. 그는 원래의 수열과 고친 수열을 비교하면서 위 수열은 반드시 발산한다고 확신했습니다. 자, 어떻게 고쳤는지 말씀드리겠습니다. 바로 각각의 항들을 1/2의 제곱수 중에 .원래의 항보다 작거나 같은 조건을 만족하는 가장 큰 제곱수로 교체하는 것입니다. 1/2의 가장 큰 제곱수라는 것을 설명드리겠습니다. 1보다 작거나 같은 조건을 만족하는 것 중에서요. 일단,1도 1/2의 제곱수 인데요, 1/2의 0제곱은 1이니까요. 바로 1이 1/2의 가장 큰 제곱수가 됩니다. 1보다 작거나 같은 특성을 지니면서요. 따라서 첫째항을 대신하는 것으로 1을 쓰겠습니다. 그렇다면, 이제 1/2의 가장 큰 제곱수는 무엇일까요? 1/2보다 작거나 같은 조건을 만족하면서요, 바로 1/2 이가 됩니다. 1/2의 1 제곱이니까요. 그 다음 1/2(-->1/3) 의 가장 큰 제곱수는요? (말실수) 1/3보다 작거나 같으면서요. 1/2은 1/3보다 크니까 조건을 만족하지 않겠네요. 1/2의 제곱수 중 1/3보다 작은 것을 찾는게 목표입니다. 1/2의 제곱수 중 1/3보다 작거나 같으면서 가장 큰 수는 1/4입니다. 1/3을 1/4로 고치겠습니다. 다음 항 1/4도 역시 1/4겠네요. 1/5에 대해 찾아보겠습니다. 무엇이 1/2의 제곱수 중 1/5보다 작거나 같으면서 가장 큰 수일까요? 다시 한번, 자 1/4는 1/5보다 크고요 1/2 제곱수 중 가장 큰 수로 1/5보다 작거나 같은 것은 1/8이 되겠네요. 그러면,(1/5를) 1/8로 바꿉시다. 당연히 같은 방식으로 1/8도 다른 수로 바꿔줍니다. 1/8을 바꿀 수는 요, 쉽죠, 1/8이 되겠네요. 1/2의 제곱수 중 1/8보다 작거나 같은 것을 만족하는 가장 큰수는 1/8이 되겠네요. 그 다음, 1/9는 어떤 수로 바꿀까요? 1/9를 같은 방식으로 1/16으로 바꿀 수 있겠네요. 이런 방식으로 1/16까지 다 바꾸셨지요? 다음 8개 항 모두 1/16으로 바꿀 수 있습니다. 여기서 뭔가 흥미로운게 보이는데요, 그러기 전, 여기서 하나 확인해봅시다. 원래 수열과 새로운 수열을 비교할 수 있는지를요. 원래 수열의 항들은 모두 양수이지요. 역시 두번째 수열의 항들도 모두 양수입니다. 또한, 새로 고쳐쓴 항들을 보면 모두 크거나 작다는 것을 알 수 있습니다. 원래의 수열과 비교해서요. 한번 비교해볼까요. 첫째항들은 서로 같고, 두번째도 서로 같고 세번째 항은 더 크네요, 1/3은 1/4보다 크니까요. 1/4는 1/4와 같고, 1/5는 1/8보다 크고요. 1/6은 1/8보다 크고요, 1/7도 1/8보다 크네요. 1/8은 1/8과 같고요. 여기서 한번 생각해봅시다. 원래에 대응시켜 새로 만든 항들이 모두 작거나 같습니다!! 이 새로운 수열을 모두 더해보겠습니다. 또 이 식은 S라고 하겠습니다. 이 무한대로 계속되는 수열의 합은 뭘까요? 한번 계속 생각해보죠. 진자주색으로 쓰겠습니다. 이 새로 만든 각각의 항들을 살펴보았을때, 원래의 항보다 작거나 같다는 것을 알아냈습니다. 또 모두 양수라는 것도 알고 있습니다. 이제 S라는 수열을 모두 더해나갔을 때 발산한다는 것을 증명한다면 비교해보았을때, 원래 수열(=더 큰 수열) 여기 이 수열이요. 대응항들이 더 컸던 수열이요. 바로 이 수열도 발산 한다는 것을 증명하는 것입니다. 어떻게 해야할까요? 한번 이 수열의 합을 구해봅시다. 자, 이렇게 한번 정리해보겠습니다. S는 1 더하기 1/2 이겠죠, 1/4 더하기 1/4 는 뭐죠? 1/4죠, 즉 1/2입니다. 뭔가 감이 오시나요? 정말 신나네요!! 그렇다면 다음 1/8 더하기 1/8 더하기 1/8 더하기 1/8은 뭐죠? 4/8이고, 즉 1/2입니다. 1/16 더하기 1/16 더하기.. 이렇게 다음 8개의 항을 더하면, 8/16, 즉 1/2 가 됩니다. 그 다음 6개의 항은 1/32이고, 모두 더하면 , 1/2네요. 그러면, 실질적으로 계속 1/2를 더하게 됩니다. 1/2를 계속 더하는 것은 1/2 더하기, 1/2 더하기, 1/2 더하기 끝도 없이 계속 더하게 돼죠. 즉, 이 수열의 합은 무한대가 됩니다. S가 발산한다는 것을 증명하는 두번째 방법은 이 각각의 항들이 다 작거나 같기 때문에 원래 조화수열의 대응되는 항들보다요. 따라서 조--화--수열이 발산한다고 말할 수 있습니다. 수렴한다고 절대로 말할 수 없습니다. 조화수열에 대응하는 S의 항들이 더 작죠, 따라서 S의 총합도 더 작습니다. 그런데 S의 합은 무한대라네요. 따라서 이 조화수열의 합은 당연히 무한대가 됩니다. 여러분, 유익하고 재밌었던 수업이셨길 바랍니다.저는 참 즐거웠습니다.