극한 비교 판정법

비교판정법에 대한 기억을 되살려봅시다 비교판정법이 유용한 경우와 유용하지 않은 경우를 봅시다 다행히 우리는 극한비교판정법도 알아볼 것입니다 극한비교판정법은 더 넓은 범주의 상황에서 쓰일 수 있습니다 우린 이미 이것을 본 적이 있습니다 무한급수 ∑1/(2^n+1)이 수렴한다는 것을 어떻게 보일까요? 무한급수 ∑1/(2^n+1)이 수렴한다는 것을 어떻게 보일까요? 각 항들은 모두 0보다 크거나 같습니다 우리는 대응되는 항들이 기존의 항들보다 큰 새로운 무한급수를 만들 수 있습니다 그리고 그 새로운 급수로는 보통 그리고 그 새로운 급수로는 보통 ∑1/2^n을 쓸 것입니다 이것은 상대적으로 큽니다 정확히는 크거나 같다고 해야합니다 정확히는 크거나 같다고 해야합니다 다시 고쳐 쓰겠습니다 1/2^n ≥ 1/(2^n+1) 이는 n이 1에서 무한대로 갈 때까지 항상 성립합니다 왜 그럴까요? 왜냐하면 이 분모는 항상 1만큼 더 크고 분모가 더 크면 전체 수식은 값이 더 작아집니다 그리고 각각의 항들이 모두 양의 값이므로 대응되는 항이 기존의 항보다 더 크고 비교판정법에 의해서 1/2^n이 수렴하므로 이것은 일종의 상한선을 제공합니다 1/2^n이 수렴하므로 이것은 일종의 상한선을 제공합니다 따라서 우리는 ∑1/2^n이 수렴하므로 ∑1/(2^n+1)이 수렴한다는 것을 알 수 있습니다 이제 약간 다른 급수에서 유사한 논리를 적용시킬 수 있는지 봅시다 ∑1/(2^n-1)의 경우를 따져봅시다 ∑1/(2^n-1)의 경우를 따져봅시다 ∑1/(2^n-1)의 경우를 따져봅시다 이 경우에 단순히 비교판정법을 적용해도 될까요? 안 됩니다 1/2^n ≥ 1/(2^n-1)라고 할 수 없기 때문입니다 1/2^n ≥ 1/(2^n-1)라고 할 수 없기 때문입니다 이것의 분모가 더 작아서 전체 수식은 더 커지고 각 항들은 이것의 상한선이 될 수 없습니다 1/(2^n-1)이 조금 더 큽니다 한편 여러분은 이렇게 생각할 수도 있습니다 n이 엄청나게 커지면 2^n은 +1이나 -1을 압도할 것이고 2^n밖에 없는 것처럼 취급될 것이며 그러므로 2^n만으로도 충분히 값의 변화 양상을 설명할 수 있다고 말입니다 그것은 저도 인정합니다 하지만 이것은 확실한 증명이 아닙니다 이 부분에서 극한비교판정법이 유용하게 사용됩니다 극한비교판정법'을 쓰겠습니다 우선 정석대로 쓰고 나서 바로 위에 있는 무한급수에 적용해볼 것입니다 비교판정법에 의하면 두 개의 무한급수를 가지고 있다면 다음이 성립합니다 이것은 n이 k에서 무한대까지 갈 때 ∑an입니다 여기서 증명을 할 것은 아니고 적용하는 것 먼저 해봅시다 여기서 증명을 할 것은 아니고 적용하는 것 먼저 해봅시다 이것은 n이 k에서 무한대까지 갈 때 ∑bn입니다 우리는 an의 각 항들이 모두 0보다 크거나 같다는 것을 압니다 우리는 an의 각 항들이 모두 0보다 크거나 같다는 것을 압니다 또 bn의 항들도 0보다 크다는 것을 압니다 또 bn의 항들도 0보다 크다는 것을 압니다 수식의 분모에 나타날 것이므로 우리가 다룰 모든 n에 대해 bn이 0과 같지 않다고 하겠습니다 우리가 다룰 모든 n에 대해 bn이 0과 같지 않다고 하겠습니다 우리가 다룰 모든 n에 대해 bn이 0과 같지 않다고 하겠습니다 n들은 k, k+1, k+2부터 차례대로 끝없이 대응됩니다 이 부분이 중요합니다 여기서 극한비교판정법의 '극한' 부분이 등장합니다 만약 n이 무한대로 갈 lim(an/bn)이 유한한 양의 값을 가진다면 lim(an/bn)이 유한한 양의 값을 가진다면 두 급수가 모두 수렴하거나 모두 발산합니다 정리해보겠습니다 두 급수가 모두 수렴하거나 모두 발산할 겁니다 매우 유용합니다 더 쉽게 말로 설명하면 이렇습니다 n이 무한대로 발산할 때 이런 비슷한 양상을 보이면 두 급수가 모두 수렴하거나 모두 발산한다는 것입니다 두 급수가 모두 수렴하거나 모두 발산한다는 것입니다 바로 이 식에 적용시켜봅시다 아까 했던 것처럼 bn은 1/(2^n)이라고 합시다 1/(2^n)이라고 합시다 비교를 시작합시다 여기 두 가지 식은 이런 조건들을 모두 만족하므로 이런 조건들을 모두 만족하므로 n이 무한대로 갈 때 lim(an/bn), 즉lim( [1/{(2^n)-1}]/(1/2^n) )은 lim(an/bn), 즉lim( [1/{(2^n)-1}]/(1/2^n) )은 얼마일까요? 식을 정리하면 n이 무한대로 갈 때 1/(2^n)으로 나누면 2^n을 곱하는 것과 같으므로 2^n을 곱하는 것과 같으므로 lim ( (2^n)/{(2^n)-1} )이 됩니다 이제 분모와 분자에서 어떤 일이 일어나는지 명확해졌습니다 이제 분모와 분자에서 어떤 일이 일어나는지 명확해졌습니다 원한다면 더 정리할 수도 있습니다 분자와 분모를 또 2^n으로 나누면 됩니다 분자와 분모를 또 2^n으로 나누면 됩니다 원한다면 그렇게 해도 됩니다 아마 안 해도 지금쯤이면 답이 보일 것입니다 그래서 n이 무한대로 갈 때 분자를 2^n으로 나누면 분자를 2^n으로 나누면 1만 남게 되고 분모를 2^n으로 나누면 1-{1/(2^n)}이 됩니다 이제부터는 쉽습니다 여기 있는 {1/(2^n)}의 값이 0으로 가기 때문에 1/1이 됩니다 중요한 것은 이 극한은 유한한 양의 값을 가진다는 겁니다 이 극한은 유한한 양의 값을 가진다는 겁니다 극한값은 1이고, 이는 양수이며 유한합니다 만약  ∑1/{(2^n)-1}이 수렴하면 ∑1/(2^n)도 수렴하고 만약 ∑1/{(2^n)-1}이 발산하면 ∑1/(2^n)도 발산합니다 우리는 이미 이 식이 수렴한다는 것을 압니다 이것은 공비가 1보다 작은 기하급수이고 이가 수렴하므로 ∑1/{(2^n)-1}도 수렴합니다 이가 수렴하므로 ∑1/{(2^n)-1}도 수렴합니다 커넥트 번역 봉사단 | 류한준