예시: 직접 비교 판정법

무한급수에 대해 알아봅시다 n이 1부터 무한대로 가는 급수에서 2^n + n 분의 1 이 있습니다 이것이 수렴하는지 발산하는지 알아볼거예요 칸 아카데미에서 계속 공부해오신 분들은 비교 판별법을 이용할 것이란 것을 예측해볼 수 있겠죠 이 문제를 해결할 수 있다고 생각이 들때면 언제든지 비디오를 멈추고 해결해보길 바라요 이 무한급수가 어떤 것인지 감을 잡기위해서 항을 전개해 보는 것을 두려워하지 마세요 한번 전개해 봅시다 n에 1을 넣으면 2 + 1 분의 1이 되니까 3분의 1 n이 2일 때는 4 + 2 니까 6분의 1 n이 3일 때는 8 + 3 이니까 11분의 1 한 개만 더 해봅시다 2의 4승은 16이고 16 + 4는 20이니까 20분의 1 그리고 계속 이어지겠죠 왠지 수렴일 것 같기도 해요 모든 항이 양수이긴 하지만 빠르게 작아지고 있네요 이 수를 잘 살펴본다면 n이 커질 때 분모에 있는 2의 n승이 n보다 훨씬 더 빨리 커지겠네요 무한급수 2의 n승 분의 1과 비슷하게 전개될겁니다 그렇다면 여기서 비교 판별법을 이용할 수 있겠죠 한번 이용해 봅시다 n이 1부터 무한대로 가는 무한급수 2의 n승 분의 1 n이 1일 때 2분의 1 n이 2일 때 4분의 1 n이 3일 때 8분의 1 n이 4일 때 16분의 1 그리고 끝없이 이어집니다 여기서 이 급수가 등비급수라는 것을 알 수 있죠 이 등비급수는 n이 1에서 무한대로 갈때 수열의 합 2분의 1의 n 승과 같습니다 2분의 1의 절대값은 그대로 2분의 1이고 절대값 2분의 1이 1보다 작으므로 이 등비급수가 수렴하고 등비급수가 수렴할 때에는 급수의 총합이나 무엇에 수렴하는지 구할 수 있죠 이것이 수렴하다는 것을 알았으니 두 수열이 비교 판별법을 위한 모든 조건을 갖추었다고 할 수 있겠네요 비교 판별법 필기로 돌아가 봅시다 비교 판별법에서는 두 수열의 모든 항이 0보다 크거나 같아야 하는데 이 항들은 0보다 크거나 같죠 그리고 한 수열의 항은 해당하는 다른 하나의 수열의 항보다 항상 작거나 같아야 합니다 여기를 살펴보면 자홍색 무한급수를 무한급수 an이라고 생각하고 그리고 이 파랑색 무한급수를 무한급수 bn이라고 생각하면 an,bn의 모든 항이 음수가 아니구요 각각 해당하는 항들을 보면 2분의 1은 3분의 1보다 크고 4분의 1은 6분의 1보다 크며 8분의 1은 11분의 1보다 큽니다 2분의 1의 n승의 모든 항은 (2의 n승 + n) 분의 1 의 해당하는 모든 항들 보다 큽니다 큰 쪽의 무한급수가 수렴하다는 것을 알고 있습니다 이 무한급수는 등비급수인데 공비의 절대값이 1보다 작으므로 이 등비급수는 수렴합니다 큰 무한급수가 수렴하므로 해당하는 항이 모두 파란 무한급수의 항보다 작은 자홍색 무한급수는 수렴합니다 자홍색 무한급수는 수렴합니다 비교 판별법에 의하여 무한급수 (2의 n승 + n) 분의 1 은 수렴합니다