예제: 극한 비교 판정법

여기 무한급수가 주어졌습니다 우리는 극한 비교 판정법에서 어떤 무한급수를 사용해야 할까요? 우리는 극한 비교 판정법에서 어떤 무한급수를 사용해야 할까요? 극한 비교 판정법에 밑줄을 그어 봅시다 S가 수렴하는지 여부를 판단할 수 있을까요? 극한 비교 판정법에 대해 상기시켜 보겠습니다 만약 우리가 두 개의 무한급수를 가지고 있다면 하나의 무한급수는 Σ a n 그리고 또 다른 무한급수는  Σ b n으로 표시하겠습니다 우리는 a n 과 b n이 모든 n 에 대하여 0보다 크거나 같다는 것을 알고 있습니다 그러므로 n의 값이 무한대로 갈 때 lim (a n / b n)의 값이 어떤 양의 상수 c가 된다면 즉 0<c<무한대라면 a n과 b n이 둘 다 수렴하거나 a n과 b n이 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산합니다 이것은 상당히 말이 됩니다 n의 값이 매우 커짐에 따라 즉, 매우 뒤쪽 항들에 다가감에 따라 양상이 같게 나오기 시작한다면 이 무한급수들이 둘 다 수렴하거나 발산한다고 말하고 있기 때문입니다 이것에 대해 소개하는 다른 동영상도 있습니다 이것에 대해 소개하는 다른 동영상도 있습니다 만약 이것을 a n이라고 한다면 만약 이것을 a n이라고 한다면 어떤 무한급수와 비교할 수 있을까요? n이 정말 커졌을 때 같은 양상을 보이는 것이 어떤 것일까요? 이것은 한계 없이 발산하는 것 같습니다 이건 그렇게 비슷해 보이지 않습니다 분모에 3^n -1이 있지만 분자는 양상이 같지 않습니다 여기 있는 것은 흥미롭습니다 왜냐하면 우리가 이렇게 쓸 수 있기 때문입니다 Σ 2^n / 3^n Σ 2^n / 3^n 그리고 이것들은 매우 비슷합니다 이것과 이것의 유일한 차이점은 분모에는 -1이 아래에는 -1이 없다는 것입니다 이것은 말이 되는게, 단지 상수이므로 n이 매우 커질 때  이들의 양상도 똑같을 수 있습니다 그럼 한번 해봅시다 극한 값을 찾아봅시다 a n 과 b n 이 그러니까 여기에 있는 것을 b n이라고 한다면 이것이 양의 값을 가짐을 아니면 0보다 크거나 같음을 알고 있습니다 왜냐하면 n이 1, 2, 3 등 어떠한 값을 갖든지 이것은 0보다 크거나 같을 것입니다 여기 있는 것도 똑같을 것입니다 0보다 크거나 같을 것입니다 모든 n에 대해 말입니다 첫 번째 조건을 충족합니다 n이 무한대로 갈 때의 lim(a n)를 구합시다 빨간 색으로 쓰겠습니다 (2^n / (3^n -1)} / (2^n / 3^n) (2^n / (3^n -1)} / (2^n / 3^n) 그럼 여기에 대수적 조작을 조금 해보겠습니다 2^n/(3^n - 1) × (3^n/2^n) 2^n/(3^n - 1) × (3^n/2^n) 2^n/(3^n - 1) × (3^n/2^n)ㅔ 분자와 분모를 2^n으로 나누면 이것들이 상쇄됩니다 이를 정리하면 3^n / 3^(n-1)이 됩니다 분자와 분모를 3^n으로 나누면 1/ (1- 1/3^n) 이것은 n이 무한대로 갈 때 lim{1/(1 - 1/ 3^n)}과 같습니다 lim{1/(1 - 1/ 3^n)}과 같습니다 이 값은 무엇이 될까요? n이 무한대로 감에 따라 1/ 3^n은 0이 될 것입니다 그러니까, 이 모든 것은 1에 수렴할 것입니다 그리고 1은 분명히 0과 무한 사이에 있고 두 무한급수는 한 배를 탔습니다 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산합니다 그래서 이건 극한 비교 판정법에 사용하기 좋습니다 그리고 이것도 생각해 봅시다 둘 다 수렴하나요? 아니면 둘 다 발산하나요? 이건 기하급수입니다 공비가 1보다 작으니까, 수렴할 것입니다 공비가 1보다 작으니까, 수렴할 것입니다 그리고 이것이 수렴하므로 극한 비교 판정법에 의해 원래의 무한급수 S도 수렴합니다 이것은 수렴하고 이제 끝났습니다 커넥트 번역 봉사단 | 양정훈