3D에서 카발리에리의 원리

두 개의 원기둥이 있습니다 두 원기둥은 같은 부피를 가집니다 그래 보입니다 밑의 넓이가 같고 높이가 같습니다 여기서 할 일은 왼쪽의 원기둥을 잘라서 이렇게 옮기겠습니다 두 개로 나누고 아래 부분을 가지고 아래 반쪽을 움직이면 부피를 바꾼건가요? 부피를 변화한 것이 아닙니다 부피가 같습니다 두 개의 반쪽 원기둥을 합치면 이는 원래의 원기둥의 부피와 같습니다 이를 더 자르면 어떤가요? 세 개로 나눠 봅시다 그래도 원래 부피와 변함이 없습니다 이는 원래 부피와 같고 세 개로 나눕니다 이를 옮긴다면 부피를 바꾸지 않습니다 이를 계속 해 봅시다 여러 개로 나눌 수 있습니다 그래도 원래 부피와 동일합니다 여러 개의 부분으로 나눌 수 있습니다 수평으로 자르고 옮겨보면 부피가 변하지 않습니다 이를 계속 반복할 수 있습니다 이를 포커 칩으로 생각할 수도 있으며 원래 원기둥을 만들 수 있고 수평으로 자르면 여러번 자르면 칩과 같습니다 하지만 합치면 부피가 같습니다 이를 옮길 수 있지만 부피는 변하지 않습니다 이는 흥미로운 질문을 가지게 하며 이는 카발리에리의 원리라고 부릅니다 두 개의 도형이 같은 높이를 가지고 그리고 높이를 따라 어떤 점에서 단면을 구하고 넓이가 같다면 두 개의 도형의 부피가 같습니다 여기에서 나온 내용을 어떻게 적용할까요? 두 개의 도형의 부피가 같고 어떤 점에서 도형을 자른다면 원래 원기둥의 동일한 점에서 단면의 넓이는 같습니다 원기둥의 밑면의 넓이가 같기 때문에 카발리에리의 원리를 따릅니다 카발리에리의 원리는 특별한게 아닙니다 이는 상식에서 나온 원리입니다 이렇게 더 많이 자를 수 있으며 이렇게 하면 비대칭한 원기둥이 나오지만 원래의 원기둥과 같은 부피를 가집니다 이렇게 옮기면 부피는 변하지 않습니다 이는 원기둥에만 적용되는 것이 아닙니다 이를 각기둥에도 적용할 수 있습니다 이 경우도 같은 부피를 가집니다 왼쪽 도형을 자르고 옮긴다면 부피가 변하지 않습니다 더 자르고 더 옮기면 부피를 바꾸지 않습니다 따라서 카발리에리의 원리는 직관적으로 맞습니다 높이가 같은 두 개의 도형이 있고 높이를 따라 특정 점의 단면의 넓이가 같다면 도형의 부피가 같습니다 따라서 이 도형들의 부피도 같습니다 그리고 각뿔 형태의 도형으로도 할 수 있습니다 두 각뿔은 같은 부피를 가지고 왼쪽 각뿔을 반으로 자르고 아래 부분을 움직이면 부피가 변하지 않습니다 계속해서 자를 수 있죠 어떤 점에서나 높이가 같고 높이의 어떤 점에서든 단면의 넓이가 같습니다 따라서 부피가 같습니다 이는 직관적입니다 그리고 다음 경우 이를 연속되는 비대칭한 각뿔이라고 볼 수 있습니다 얼마나 비대칭이든 간에 원래의 각뿔과 같은 부피를 가집니다 높이가 같기 때문입니다 높이를 따라 단면을 자르면 넓이가 같습니다 이는 어떤 도형이라도 적용됩니다 따라서 이 구도 부피가 같습니다 왼쪽의 도형을 반으로 자르면 높이를 따라 자르고 이렇게 옮깁니다 부피는 변하지 않습니다 이렇게 더 자를 수 있습니다 그래도 부피가 같죠 이는 카발리에리의 정리를 따릅니다 높이가 같고 높이에 따른 어떤 점에서의 단면의 넓이가 같기 때문입니다 이 도형을 자르고 옮기더라도 다른 도형처럼 보이지만 다른 도형처럼 보이지만 높이와 특정 점에서의 단면의 넓이가 같기 때문에 부피가 같습니다 이는 유용합니다 원리를 아는 것도 있지만 이 동영상이 직관적인 이해를 도왔기 바랍니다