3D에서 카발리에리의 원리

핵심 아이디어: 두 개의 3D 도형의 $\text{높이}$‍와 모든 높이에서의 $\text{단면}$‍이 같다면 두 도형의 $\text{부피}$‍는 같습니다.

동전(또는 책, 카드, 또는 평행한 평면을 가진 모든 것)을 쌓아 올린 것을 상상해 봅시다. 쌓아 올린 것의 윗부분을 살짝 민 것은 처음의 부피와는 다른가요? 당연히 다르지 않겠죠!

입체도형을 평행하게 겹겹이 잘라 앞 뒤로 밀어도 부피가 바뀌지 않습니다.

카발리에리의 원리 시뮬레이션을 한 번 해보세요. 슬라이더를 끌어서 쪼갤 수 있는 도형의 수를 바꾸어 보고 이에 따라 원기둥에 어떠한 변화가 있는지 알아보세요.

각기둥과 원기둥에만 카발리에리 원리가 적용되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 원뿔도 잘게 쪼개어 민다면, 부피에 변화가 없다는 것을 알 수 있습니다.

카발리에리의 원리 시뮬레이션을 한 번 해보세요. 원뿔 위에서 마우스를 끌어보세요. 어떻게 기울어져도, 원래의 도형과 부피가 일치하는 것을 볼 수 있습니다.

두 도형 모두 $\text{높이}$‍는 $21$‍, $\text{밑면의 넓이}$‍는 $64\pi$‍입니다.

카발리에리의 원리에 한가지 더 유용하게 쓰일 수 있는 것이 있습니다. 단면의 모양이 다른 도형이라도 같은 넓이를 가질 수 있다는 것이죠.