각뿔의 부피 직관

이 동영상에선 사각뿔의 부피를 구하는 법을 배워 봅시다 많은 학생들은 이미 사각뿔 부피의 공식을 알 것입니다 하지만 영상의 목적은 사각뿔 부피의 공식에 대한 이해를 돕는 것입니다 우선 사각뿔을 그려 봅시다 직사각형의 밑면을 그립니다 하지만 해당 공식을 어떻게 보냐에 따라 더 나은 일반적인 꼴도 구할 수 있습니다 어쨋든 사각뿔은 다음과 같이 생겼습니다 그리고 이 사각뿔의 부피의 공식에 대해 생각이 떠오를 것입니다 이 수치는 x입니다 여기 이 수치는 y입니다 그리고 사각뿔의 높이가 있습니다 중심에서 위로 직선으로 올라가면 혹은 여기 이 거리를 잰다면 사각뿔의 높이가 됩니다 이를 z라고 부릅니다 이를 z라고 부릅니다 삼차원을 다루는 경우 삼차원을 각각 곱한 다음 부피를 구할 것입니다 하지만 x, y, z를 곱하면 이는 사각뿔을 포함하는 사각기둥의 부피입니다 따라서 이는 더 큰 값의 부피를 구하게 됩니다 사각뿔의 부피보다 큰 값이죠 사각뿔은 이 안에 존재합니다 여기가 사각뿔의 꼭대기입니다 이렇게 말이죠 따라서 이를 보면 사각뿔의 부피는 상수에 x, y, z를 곱한 것이라 생각할 것입니다 이번 동영상에서 구할 내용은 바로 이 상수의 값입니다 각뿔의 부피가 이것과 같은 구조일 경우 말이죠 이를 구하기 위해 사각기둥을 그리고 여섯 개의 사각뿔로 나누어 봅시다 사각기둥의 부피의 전체를 차지하게 말이죠 따라서 사각뿔이 다음과 같다고 합시다 가로는 x고 세로는 y입니다 따라서 이는 밑면입니다 그리고 높이는 사각기둥의 절반입니다 따라서 사각기둥의 높이는 z이며 사각뿔의 높이는 z/2입니다 그렇다면 이를 바탕으로 사각뿔의 부피는 어떻게 구하나요? 그 값은 어떤 상수 k에 x · y를 곱하고 z가 아닌 사각뿔의 높이인 z/2를 곱합니다 따라서 이는 kxyz/2입니다 이렇게 쓸 수도 있습니다 이렇게 쓸 수도 있습니다 이제 같은 수치를 가진 다른 사각뿔을 만들어 봅시다 해당 사각뿔을 뒤집어서 이렇게 놓아 봅시다 사각뿔의 수치는 x가 가로고 y가 세로 z/2가 높이입니다 따라서 부피는 다음과 같습니다 이 두 사각뿔의 부피의 합은 얼마인가요? 이는 이 값의 두배입니다 따라서 두 사각뿔의 부피의 합은 이렇게 그려 봅시다 두 사각뿔은 다음과 같고 색을 바꿔볼게요 두 개가 있습니다 따라서 두 부피의 곱이며 이는 이 값의 두 배입니다 이는 k에 xyz를 곱한 것입니다 kxyz이죠 그리고 더 많은 사각뿔을 그립니다 여기에도 사각뿔이 있으며 이게 밑면이고 이와 같이 생긴 사각뿔을 그려보면 이는 여기 위치합니다 이제 부피가 어떻게 되나요? 이 부피는 k에 밑면의 넓이인 yz kyz에 높이는 무엇인가요? 높이는 x/2입니다 따라서 이 높이는 x/2입니다 kyzx/2입니다 kyzx/2입니다 또 동일한 수치를 가진 다른 사각뿔이 있네요 여기에 다른 면을 그리면 이전 면과 반대죠 이를 뒤집으면 동일한 수치를 가집니다 따라서 이를 생각해보면 두 개의 사각뿔이 다음과 같이 있으며 동일한 수치를 가집니다 이는 임의로 그린 사각기둥의 경우입니다 이게 두 개가 있고 두 개의 부피가 있다면 이 값은 무엇인가요? 이는 이 식에 2를 곱한 것입니다 따라서 이는 kxyz입니다 흥미롭네요 마지막으로 사각뿔이 두 개 더 있습니다 여기에 밑면이 다음과 같은 여기에 말이죠 이게 밑면이며 이게 투명이라면 제가 어디에 그리는지 보일 것입니다 그리고 반대편에 하나 더 있습니다 여기 말이죠 뒤집은 것처럼 말이죠 따라서 같은 원리에 따라 이를 그려 봅시다 두 개의 사각뿔이 있으며 이렇게 그려볼게요 사각뿔의 각 부피는 얼마인가요? 밑면은 x · z입니다 따라서 이는 kxz이며 이는 밑면의 넓이입니다 높이는 무엇인가요? 각각 높이가 y/2입니다 따라서 y/2고 두 개의 사각뿔이 있습니다 이에 2를 곱하겠습니다 2가 지워지기 때문에 kxyz만 남습니다 따라서 kxyz입니다 흥미로운 점은 방금 구한 것은 이 사각뿔들이 수치가 다르게 보여도 부피가 같다는 것입니다 이는 흥미롭습니다 모든 사각뿔의 부피를 더하고 공식을 통해 이를 표현하면 모두 함께 더하면 이는 이 사각기둥의 부피와 같습니다 그리고 k를 구할 수 있죠 전체 사각기둥의 부피는 xyz입니다 xyz 그리고 이는 이 값들의 합입니다 따라서 이는 kxyz + kxyz + kxyz입니다 따라서 이는 kxyz + kxyz + kxyz입니다 이는 세 개의 동일한 kxyz입니다 여기서 한 것은 이 사각뿔들의 부피를 더한 것입니다 k의 값은 무엇인가요? 양 변은 3xyz로 나누고 k에 대해 푼다면 3xyz이고 식의 우변에는 모든게 상쇄되고 k만 남습니다 좌변에는 1/3이 남습니다 k는 1/3입니다 구했네요 사각뿔의 부피는 1/3에 밑면과 높이를 곱한 것입니다 이렇게 적은 것을 본 적 있을 수 있어요 1/3에 밑면을 곱하고 그러니까 x · y가 밑면의 넓이고 높이를 곱하는데 이 경우 z입니다 이를 h라고 하면 사각뿔의 공식을 이렇게 적기도 합니다 하지만 둘은 동일합니다 1/3은 동일합니다