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주요 내용

각뿔이나 원뿔의 부피

각뿔의 부피 공식의 1/3은 어디에서 온 것일까요? 원뿔의 부피와는 어떤 관련이 있을까요? 빗각뿔(한쪽으로 기우는 각뿔)은 어떨까요?

각뿔과 원뿔은 무엇인가요?

각뿔은 다각형 모양의 밑면과 꼭짓점 사이의 평면들 위에 있는 점들을 모아둔 것입니다.
밑면을 꼭짓점에 대해 확대/축소한 것을 비율 0에서 1까지 모아 놓은 것을 원뿔이라고도 생각할 수 있습니다.
원뿔은 밑면이 원인 각뿔과 비슷하게 생긴 입체도형입니다. 원뿔의 옆면은 삼각형이 아닌 곡면으로 이루어져 있지만, 부피를 구하는 방법은 각뿔과 같습니다.

각뿔의 부피

각뿔의 부피 V의 공식은 V=13(밑면의 넓이)(높이)입니다. 이 공식은 어디서 생겨난 것일까요?

공식 안에서 13은 어디서 온 것인가요?

한 변의 길이가 1인 정육면체가 있습니다. 이 정육면체를 3개의 동일한 각뿔로 자를 수 있습니다.
연습문제 1
각 각뿔의 부피를 구하세요.
  • 정답은
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
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각뿔의 비

각뿔의 비율은 각기둥의 비율을 구하는 것과 같습니다. 각뿔의 부피V확대/축소하지 않은 를 직각을 이루는 방향 세 가지로 r, s, t 를 사용하여 나타내고, 그러면 부피 V확대/축소한V확대/축소하지 않은rst 로 나타낼 수 있습니다.
연습문제 2
다음 각뿔은 이 전에 나왔던 밑면이 정사각형인 각뿔을 각각의 평면 안에서 다른 비율로 확대/축소한 것입니다.
사각기둥의 부피를 구하세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
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핵심 아이디어: 확대/축소해도 각뿔의 부피는 여전히 밑면이 같은 각기둥의 부피의 13입니다.

잘린 평면들 밀기

각뿔을 밑면과 평행하게 여러 층으로 자른다고 생각해 봅시다. 부피에 변화를 주지 않고 이 층들을 다 자를 수 있습니다. 층의 수가 무한대에 가까워지면, 다시 만들어진 각뿔의 모양은 부드러워집니다.
카발리에리의 원리는 높이와 각뿔의 밑면과 평행한 단면의 넓이가 변화하지 않는 한 부피가 변화하지 않는 다는 것을 보여줍니다! 꼭짓점이 이동해도,각뿔의 부피 공식을 사용할 수 있습니다.
연습문제 3
각뿔의 부피를 구하세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
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밑면의 모양 바꾸기

각뿔에 적용되는 카발리에리의 원리의 신기한 점이 있습니다. 두 밑면의 넓이가 같고, 전혀 다른 모양일 수 있습니다. 두 각뿔의 높이와 밑면의 넓이가 같거나 또는 입체도형의
가 같다면, 부피도 같습니다. 이것은 밑면과 평행한 모든 단면의 넓이가 같기 때문입니다.
따라서 밑면의 2D 도형에 상관없이 공식 V각뿔=13(밑면)(높이)는 성립합니다.
문제 4.1
다음 각뿔의 밑면은 이등변삼각형입니다.
각뿔의 부피를 구하세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
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13을 다른 방법으로 얻기

각기둥을 이용하여 대략적으로 부피를 구해보면, 각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 13이라는 것을 알 수 있습니다.
블럭놀이를 하듯이 각기둥을 쌓아 각뿔을 만들 수 있습니다. 이 모델은 각뿔의 부피보다 큰 부피를 가지고 있고, 층이 더 얇아지고 많아질 각뿔의 부피에 점점 가까워집니다.
평면의 개수나누어진 각뿔의 부피(대략적인 값)각기둥의 부피
40.469
160.365
640.341
2560.335
10240.334
40960.333
13
각뿔처럼 생긴 입체도형의 밑면은 2D인 임의의 도형을 가질 수 있습니다. 부피에 변화를 주지 않고 각뿔을 밀었기 때문에 원뿔을 포함한 모든 각뿔처럼 생긴 도형의 비는 모두 같습니다.