각뿔이나 원뿔의 부피

각뿔은 다각형 모양의 밑면과 꼭짓점 사이의 평면들 위에 있는 점들을 모아둔 것입니다.

밑면을 꼭짓점에 대해 확대/축소한 것을 비율 $0$‍에서 $1$‍까지 모아 놓은 것을 원뿔이라고도 생각할 수 있습니다.

원뿔은 밑면이 원인 각뿔과 비슷하게 생긴 입체도형입니다. 원뿔의 옆면은 삼각형이 아닌 곡면으로 이루어져 있지만, 부피를 구하는 방법은 각뿔과 같습니다.

각뿔의 부피 $V$‍의 공식은 $V={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{밑면의 넓이})(\text{높이})$‍입니다. 이 공식은 어디서 생겨난 것일까요?

한 변의 길이가 $1$‍인 정육면체가 있습니다. 이 정육면체를 $3$‍개의 동일한 각뿔로 자를 수 있습니다.

각뿔의 비율은 각기둥의 비율을 구하는 것과 같습니다. 각뿔의 부피$V_{\text{확대/축소하지 않은}}$‍ 를 직각을 이루는 방향 세 가지로 $r$‍, $s$‍, $t$‍ 를 사용하여 나타내고, 그러면 부피 $V_{\text{확대/축소한}}$‍ 는 $V_{\text{확대/축소하지 않은}}rst$‍ 로 나타낼 수 있습니다.

핵심 아이디어: 확대/축소해도 각뿔의 부피는 여전히 밑면이 같은 각기둥의 부피의 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍입니다.

각뿔을 밑면과 평행하게 여러 층으로 자른다고 생각해 봅시다. 부피에 변화를 주지 않고 이 층들을 다 자를 수 있습니다. 층의 수가 무한대에 가까워지면, 다시 만들어진 각뿔의 모양은 부드러워집니다.

카발리에리의 원리는 높이와 각뿔의 밑면과 평행한 단면의 넓이가 변화하지 않는 한 부피가 변화하지 않는 다는 것을 보여줍니다! 꼭짓점이 이동해도,각뿔의 부피 공식을 사용할 수 있습니다.

각뿔에 적용되는 카발리에리의 원리의 신기한 점이 있습니다. 두 밑면의 넓이가 같고, 전혀 다른 모양일 수 있습니다. 두 각뿔의 높이와 밑면의 넓이가 같거나 또는 입체도형의 가 같다면, 부피도 같습니다. 이것은 밑면과 평행한 모든 단면의 넓이가 같기 때문입니다.

따라서 밑면의 2D 도형에 상관없이 공식 $V_{\text{각뿔}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{밑면})(\text{높이})$‍는 성립합니다.

각기둥을 이용하여 대략적으로 부피를 구해보면, 각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍이라는 것을 알 수 있습니다.

블럭놀이를 하듯이 각기둥을 쌓아 각뿔을 만들 수 있습니다. 이 모델은 각뿔의 부피보다 큰 부피를 가지고 있고, 층이 더 얇아지고 많아질 각뿔의 부피에 점점 가까워집니다.

각뿔처럼 생긴 입체도형의 밑면은 2D인 임의의 도형을 가질 수 있습니다. 부피에 변화를 주지 않고 각뿔을 밀었기 때문에 원뿔을 포함한 모든 각뿔처럼 생긴 도형의 비는 모두 같습니다.