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고등학교 기하학
코스: 고등학교 기하학 > 단원 10
단원 2: 카발리에리의 정리와 절단 방법각뿔이나 원뿔의 부피
각뿔의 부피 공식의 1/3은 어디에서 온 것일까요? 원뿔의 부피와는 어떤 관련이 있을까요? 빗각뿔(한쪽으로 기우는 각뿔)은 어떨까요?
각뿔과 원뿔은 무엇인가요?
각뿔은 다각형 모양의 밑면과 꼭짓점 사이의 평면들 위에 있는 점들을 모아둔 것입니다.
밑면을 꼭짓점에 대해 확대/축소한 것을 비율 0에서 1까지 모아 놓은 것을 원뿔이라고도 생각할 수 있습니다.
원뿔은 밑면이 원인 각뿔과 비슷하게 생긴 입체도형입니다. 원뿔의 옆면은 삼각형이 아닌 곡면으로 이루어져 있지만, 부피를 구하는 방법은 각뿔과 같습니다.
각뿔의 부피
각뿔의 부피 V의 공식은 V, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, 밑, 면, 의, space, 넓, 이, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, 높, 이, end text, right parenthesis입니다. 이 공식은 어디서 생겨난 것일까요?
공식 안에서 start fraction, 1, divided by, 3, end fraction은 어디서 온 것인가요?
한 변의 길이가 1인 정육면체가 있습니다. 이 정육면체를 3개의 동일한 각뿔로 자를 수 있습니다.
각뿔의 비
각뿔의 비율은 각기둥의 비율을 구하는 것과 같습니다. 각뿔의 부피V, start subscript, start text, 확, 대, slash, 축, 소, 하, 지, space, 않, 은, end text, end subscript 를 직각을 이루는 방향 세 가지로 r, s, t 를 사용하여 나타내고, 그러면 부피 V, start subscript, start text, 확, 대, slash, 축, 소, 한, end text, end subscript 는 V, start subscript, start text, 확, 대, slash, 축, 소, 하, 지, space, 않, 은, end text, end subscript, r, s, t 로 나타낼 수 있습니다.
핵심 아이디어: 확대/축소해도 각뿔의 부피는 여전히 밑면이 같은 각기둥의 부피의 start fraction, 1, divided by, 3, end fraction입니다.
잘린 평면들 밀기
각뿔을 밑면과 평행하게 여러 층으로 자른다고 생각해 봅시다. 부피에 변화를 주지 않고 이 층들을 다 자를 수 있습니다. 층의 수가 무한대에 가까워지면, 다시 만들어진 각뿔의 모양은 부드러워집니다.
카발리에리의 원리는 높이와 각뿔의 밑면과 평행한 단면의 넓이가 변화하지 않는 한 부피가 변화하지 않는 다는 것을 보여줍니다! 꼭짓점이 이동해도,각뿔의 부피 공식을 사용할 수 있습니다.
밑면의 모양 바꾸기
각뿔에 적용되는 카발리에리의 원리의 신기한 점이 있습니다. 두 밑면의 넓이가 같고, 전혀 다른 모양일 수 있습니다. 두 각뿔의 높이와 밑면의 넓이가 같거나 또는 입체도형의 가 같다면, 부피도 같습니다. 이것은 밑면과 평행한 모든 단면의 넓이가 같기 때문입니다.
따라서 밑면의 2D 도형에 상관없이 공식 V, start subscript, start text, 각, 뿔, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, 밑, 면, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, 높, 이, end text, right parenthesis는 성립합니다.
start fraction, 1, divided by, 3, end fraction을 다른 방법으로 얻기
각기둥을 이용하여 대략적으로 부피를 구해보면, 각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 start fraction, 1, divided by, 3, end fraction이라는 것을 알 수 있습니다.
블럭놀이를 하듯이 각기둥을 쌓아 각뿔을 만들 수 있습니다. 이 모델은 각뿔의 부피보다 큰 부피를 가지고 있고, 층이 더 얇아지고 많아질 각뿔의 부피에 점점 가까워집니다.
| 평면의 개수 | start fraction, start text, 나, 누, 어, 진, space, 각, 뿔, 의, space, 부, 피, left parenthesis, 대, 략, 적, 인, space, 값, right parenthesis, end text, divided by, start text, 각, 기, 둥, 의, space, 부, 피, end text, end fraction |
|---|---|
| 4 | approximately equals, 0, point, 469 |
| 16 | approximately equals, 0, point, 365 |
| 64 | approximately equals, 0, point, 341 |
| 256 | approximately equals, 0, point, 335 |
| 1024 | approximately equals, 0, point, 334 |
| 4096 | approximately equals, 0, point, 333 |
| infinity | start fraction, 1, divided by, 3, end fraction |
각뿔처럼 생긴 입체도형의 밑면은 2D인 임의의 도형을 가질 수 있습니다. 부피에 변화를 주지 않고 각뿔을 밀었기 때문에 원뿔을 포함한 모든 각뿔처럼 생긴 도형의 비는 모두 같습니다.