3D에서의 확대 및 축소

어떤 표면이 있다고 합시다 이게 책상의 상단이라고 하죠 그리고 그 표면에 삼각형을 그리고 싶다고 합시다 삼각형이 이런 식으로 생겼습니다 직각삼각형일 필요는 없지만요 직각삼각형 같긴 해도 꼭 그렇다는 것은 아닙니다 삼각형 ABC라고 하겠습니다 흥미로운 것을 해 보겠습니다 이 책상의 표면에 있지 않은 점을 만드는데 점 B의 바로 위라고 하겠습니다 이 점에서 곧바로 올라와서 여기 점 P가 있습니다 그러면 점 p를 정상점으로 하는 각뿔을 만들 수 있습니다 그리고 이 각뿔의 단면은 어떠할지 생각해 봅시다 여기서 선분 PB의 길이는 각뿔의 높이입니다 그 높이의 중간에서 책상과 평행한 각뿔의 단면을 구하면 어떻게 생겼을까요? 이럴 겁니다 아주 흥미로운 사실을 알 수 있는데 파란색 삼각형을 수직으로 책상에 평행이동하면 이럴 것입니다 이렇게 보면 점 B에 대해 기존 삼각형을 축소한 것 같네요 사실 이것은 scale factor 0.5로 점 B에 대해 기존 삼각형을 축소한 것입니다 여기에서 확인할 수 있습니다 여기 이것의 길이는 BC를 축소한 것의 길이는 원래 BC의 길이의 반입니다 이건 AB의 길이의 반이고요 그러면 이건 AC의 길이의 반입니다 이 각뿔의 다른 높이에서도 가능합니다 점 B와 P 사이 0.75만큼에선 어떨까요? 여기 쯤이겠네요 기존 삼각형 곧 표면과 더 가깝습니다 그러면 단면은 이렇게 됩니다 이걸 기존 삼각형에 평행이동하면 어떻게 생겼을까요? 이렇게 생겼을 것입니다 점 B에 대해 기존 삼각형을 축소한 것이 되죠 이번에는 scale factor가 0.75입니다 점 P와 점 B 사이를 1/4만 가면 어떨까요? 이럴 것입니다 1/4 지점에서 기존 표면과 평행한 단면입니다 이렇겠네요 책상 위에 수직으로 평행이동하면 이럴 것입니다 점 B에 대해 scale factor 0.25로 축소한 삼각형입니다 그리고 이 모든 삼각형이 점 B를 중심으로 축소한 삼각형으로 보이는 이유는 점 P가 점 B의 바로 위에 있기 때문입니다 이런 식으로 확대/축소의 개념을 이해할 수 있습니다 3차원 도형의 단면과 이경우 그 도형은 각뿔이고요 그 단면들과 도형의 밑의 관계를 알아볼 수 있습니다 흥미로운 질문을 한 번 해 보겠습니다 정확히 점 P에서 단면을 구하면 어떨까요? 그러면 점을 얻게 됩니다 삼각형이 아니라요 이건 scale factor가 0인 축소라고 생각할 수 있습니다 도형의 밑에서 단면을 구하면 어떨까요? 그건 기존 삼각형 ABC일 것이고 그건 scale factor가 1인 축소라고 생각할 수 있습니다 끝에 다다랐기 때문이죠 이 모든 것은 밑과 평행한 3차원 도형과 확대/축소의 개념을 알아보기 위함이었습니다 확대/축소의 개념을 알아보기 위함이었습니다