정육면체의 단면

이번 영상에서는 정육면체를 잘랐을 때 생기는 평면의 모양에 대해 알아보겠습니다 이것이 무슨 뜻일까요? 가령, 정사각형 모양을 잘라내고 싶다고 해봅시다 어떻게 해야 정육면체를 자른 단면이 정사각형이 될까요? 머릿속으로 상상해 본다면, 정사각형 평면을 만드는 것은 가장 직관적으로 생각해 낼 수 있을 것입니다 즉, 위쪽 면과 옆쪽 면을 그림과 같이 자르고, 정육면체의 뒤쪽에 있는 점선으로 표시된 선을 따라 자른 뒤에 아래쪽 면도 자릅니다 이와 같이 정육면체를 자르는 평면을 상상할 수 있습니다 이 평면을 조금 넓게 확장시켜서 그리면 이렇게 될 것입니다 이 평면에 대한 적당한 그림을 그려 보도록 하겠습니다 즉, 이 정육면체를 자르는 평면을 그리는 것입니다 정육면체가 불투명할 때 우리가 볼 수 있는 부분을 색칠하면 이렇게 될 것입니다 정육면체가 투명하다면 점선 부분도 볼 수 있을 것입니다 평면으로 정육면체를 잘라 정사각형을 만드는 일은 매우 간단했습니다 하지만 직사각형은 어떻게 해야 얻을 수 있는 것일까요? 아무 때라도 좋으니 동영상을 잠시 멈추고 스스로 생각하는 시간을 갖는 것을 권장합니다 제가 이야기하는 도형들은 어떻게 해야 얻을 수 있을까요? 직사각형의 경우는 이런 식으로 자르면 얻을 수 있습니다 윗면을 그림과 같이 자르고, 옆쪽 면을 이런 식으로 자릅니다 지금쯤 눈치를 채셨을 것이라 생각합니다 이쪽 면도 이런 식으로 잘라준 후 마지막으로 아래쪽 면도 다음과 같이 잘라줍시다 그렇게 하면 평면과 정육면체가 만나 생기는 교선들을 얻을 수 있습니다 이 교선들이 이루는 모양을 살펴봅시다 이 큰 사각형이 정육면체를 자르고 있는 실제 평면일 것입니다 이 평면이 만드는 정육면체와의 교선은 직사각형의 모양이 될 것입니다 이는 다음과 같이 생겼을 것입니다 다시 한 번 명암을 입혀보겠습니다 이것을 보면서, 마술사들이 사람을 자르는 것처럼 보이는 속임수를 쓸 때 쓰는 큰 칼처럼 생긴 정육면체를 자르는 평면을 상상해 보세요 그 평면은 그림과 같이 생겼을 것입니다. 아마 여러분들은 이것을 보면서 이렇게 생각하셨을 것입니다 "썩 어렵진 않구나" "평면과 정육면체를 만나게 하면 정사각형도 만들 수 있고 직사각형도 만들 수 있네" "하지만 삼각형은 어떨까?" 다시 한 번 동영상을 잠시 멈추고 생각해 보세요 삼각형을 만드는 방법을 알아냈다면 이것도 어렵지만은 않다는 것이겠죠 세 면을 각각 이렇게 잘라줍시다 물론 여기서 평면을 더 확장시켜서 자세하게 그릴 수도 있을 것입니다 하지만 그 방법은 이해하셨으리라 생각합니다 이렇게 하면 삼각형을 만들 수 있게 됩니다 이렇게 만들 수 있는 삼각형은 여러 종류가 있는데요 예를 들어 정삼각형을 만들 수도 있겠죠 이쪽 면을 자른 길이와 이쪽 면을 자른 길이가 같고 윗면도 같은 길이로 자른다면 말입니다 이는 평면이 정육면체와 겹치게 되는 선분의 길이겠죠 이는 정삼각형을 이룰 것입니다 이 점을 약간 위로 올려버리면 이등변삼각형을 얻을 수 있게 됩니다 이번엔 이 점을 위의 그림처럼 가까이 가져다 놓으면 직각삼각형과 비슷한 모양을 얻을 수 있을 것입니다 하지만 완전한 직각은 아닙니다 이 각은 여전히 90도보다는 조금 작은 각일 것입니다 90도에 접근할 수 있을 뿐 완벽한 직각이 되지는 않기 때문에 90도를 넘는 91도 근처의 각도를 만드는 것도 불가능합니다 사실상 둔각삼각형은 만들 수 없는 것이죠 하지만 정삼각형, 이등변삼각형, 삼각형을 모두 얻을 수 있었습니다 아마 여러분들은 다른 종류의 예각삼각형도 만들 수 있을 것입니다 하지만 이젠 훨씬 흥미로운 주제를 다뤄봅시다 과연 정육면체를 평면으로 잘랐을 때 오각형이 생길 수 있을까요? 저는 여러분들이 동영상을 잠시 멈추고 깊이 생각해 보기를 적극 권장합니다 왜냐 하면 이건 정말 재미있는 문제이기 때문입니다 어떻게 하면 정육면체를 평면으로 잘라 오각형을 만들 수 있을까요? 답을 보여드리겠습니다 정육면체를 평면으로 잘라 오각형을 만드는 방법은 이렇습니다 윗면을 자른다고 생각해보십시오 하지만 이번엔 조금 다르게 할 것입니다 윗면을 이런 식으로 자른 뒤 뒤쪽 면을 다음과 같이 자릅니다 이번엔 다른 뒤쪽 면을 잘라줍니다 이번에는 이쪽 면을 이렇게 자릅니다 마지막으로 이 면을 다음과 같이 자릅니다 앞에서 했던 것처럼 평면을 그려 보았습니다 하지만 이번엔 직관적으로 알아보기에는 조금 힘들 수 있습니다 그래도 대충 어떤식인지는 이해하셨을 것입니다 올바른 각도로 잘 자른다면 평면과 정육면체가 만나 생기는 교선들은 위의 그림처럼 오각형을 이룰 것입니다 이제 난이도를 더욱 높여봅시다 육각형은 어떨까요? 이차원 평면으로 정육면체를 잘랐을 때 평면과 정육면체의 교선이 육각형을 이룰 수 있을까요? 아마 예상하셨겠지만, 불가능하다면 제가 질문을 던지지도 않았겠죠 그러니 어떻게 하면 육각형이 되는지 확인해봅시다 윗면을 이렇게 자르고 바닥면도 다음과 같이 잘라줍니다 이번엔 뒷쪽에 있는 두 면을 잘라봅시다 앞에 있는 면도 이렇게 잘라줍시다 이제 감이 오실 겁니다 정육면체를 잘라 육각형을 얻었습니다 이것을 통해 정육면체로 할 수 있는 일에 대해 더 잘 이해하게 되었으리라 생각합니다 정육면체를 큰 평면으로 자르는 일에 대해 말이죠 아마 정육면체로 할 수 있는 것 중 과거에 상상해 본 것들이 더 있을 겁니다 정육면체에는 여섯 면으로 이루어져 있기 때문에 정육면체를 평면으로 자른다면 최대 6개의 평면을 다 자를 수 있겠죠 그리고 이 평면들을 잘라낼 때마다 하나의 단면이 생기게 됩니다 여기선 네 변을 잘랐고 여기서도 역시 네 개의 면과 네 개의 변을 잘랐습니다 여기선 세 개, 여기서는 다섯 개였습니다 이 정육면체는 바닥 면을 자르지 않은 것이죠 그리고 여기선 정육면체에 있는 6개의 변, 6개의 면을 모두 잘라냈습니다