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문제 풀이 : 불연속인 함수 위의 점

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x의 범위에 따라 다르게 정의되어 있는 함수 f가 있습니다 x의 값에 따라 함수가 다른 식을 가지고 있는데요 0 < x ≤ 2인 범위에서는 0 < x ≤ 2인 범위에서는 f(x)가 ln x이고 x ≥ 2인 범위에서는 f(x) 는 x² ln x로 정의되어 있습니다 f( x) 는 x² ln x로 정의되어 있습니다 이때 x가 2로 다가갈 때 f(x)의 극한 값을 찾으려고 합니다 2는 여기에서 특이한 숫자인데 왜냐하면 2를 기준으로 두 함수가 나누어져 있기 때문입니다. x가 2로 가까워질 때의 극한값을 알기 위해서는 먼저 첫번째 경우에 대해서 생각해 보아야 합니다 2는 2보다 작거나 같고 0보다 크니가 바로 구해볼 수 있겠네요. 이 함수에서는 ln(2)가 되겠네요 하지만 이 값이 구하려는 극한값이 될 수는 없어요 이 값이 무엇인지를 알기 위해서는 이 극한값에서 좌극한 일 때는 값이 어떨지 그리고 우극한 일 때는 어떨지를 살펴보고 둘 모두 존재하고 같은 값 일 때 같은 값 일 때 극한값이 존재한다고 할 수 있어요 그러면 한 번 구해봅시다 먼저 극한 값을 구해봅시다 먼저 x가 2보다 작은 값에서 2로 가까워지는 x->2의 좌극한에 대해서 생각해봅시다 이 경우에 대해서는 0 < x ≤ 2의 범위에 속하는 것임을 알 수 있어요 값이 2에 왼쪽에서 다가가고 있으니까 2보다 작은 범위에 있음을 알 수 있어요 그러면 일단은 이 함수에 관한 것이고 이 함수가 주어진 범위인 0 < x ≤ 2라는 범위에서 연속이므로 극한값은 값이 2일 때의 함수값과 같은 값으로 나오게 됩니다 그러면 값은 ln(2)가 되겠네요 이제는 x가 2보다 큰 범위에서 2로 다가올 때인 우극한을 생각해봅시다. f(x)에서 x -> 2일 때의 우극한 값을 찾아봅시다 2는 위의 함수에 속하지만 2보다 큰 수에서 2에 가까워지므로 아래의 함수에 속한 범위로 생각해야 합니다 그러면 우극한은 이 함수를 사용해서 구해야겠죠 아까와 마찬가지로 이 함수는 주어진 x 범위인 x > 2에서 연속이므로 이 경우에는 아까처럼 x가 2일 때의 함수값과 동일하게 됩니다 왜냐하면 이번에는 이 함수에서 2의 오른쪽에서 다가옴에 따라 x는 항상 2보다 큰 값을 가지게 되고 이 때는 이 함수의 경우임을 알 수 있습니다 그러면 이 함수에서의 2일 때 극한 값을 구하면 되겠죠 이 함수는 주어진 범위에서 연속이므로 이 극한 값은 2² ln(2)가 되겠네요 그러면 이 값은 4 ln(2)가 되겠네요 4 ln(2)가 되겠네요 우극한도 존재한다는 것을 알아냈어요 좌극한도 존재하고요 하지만, 이 극한 값을 보면 2를 기준으로 값이 연속적이지 않고 건너뛴다는 것을 알 수 있어요 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 다르다는 것을 알 수 있어요 만약 f(x)를 그래프로 그리면 그래프에서 건너 뛰는 것을 볼 수 있을거에요 그 점에서 연속적이지 않다는 것을 알 수 있겠죠 결론적으로 이 함수에서는 좌극한과 우극한이 서로 다른 값으로 수렴하기 때문에 극한값이 존재하지 않겠네요. 극한값이 존재하지 않네요.