문제 풀이 : 연속인 함수 위의 점

함수 g(x)가 x<3 일때 log(3x) 이고 x가 3 이상일때 4-x 곱하기 log(9) 이면 이 g(x)의 정의를 바탕으로 lim g(x)를 알고 싶은데 x가 3에 수렴할 때의 값을 구해야 합니다 3은 두 범위 조건에서 경계값이기도 합니다 첫 번째 조건인 x가 0과 3사이 일때 첫 번째 조건인 x가 0과 3사이 일때 그리고 3은 이 범위에 해당됩니다 극한값을 구하기 위해서 좌극한값을 구하면 이 경우를 다루는 것인데 x가 3보다 작은 범위인 경우이기 때문입니다 또한 우극한 값도 구해야 하는데 이 경우에서 구하면 됩니다 만약 두 극한값 모두 존재하고 같은 값을 가지면 그 값이 이 답이 될 것입니다 일단 좌극한 값을 구해봅시다 x가 3 미만에서 3에 수렴할때인 좌극한값을 구하면 g(x) 에서 x가 3에 수렴하는데 작은 쪽에서 수렴하며 x가 3보다 작을 때 사용할 수 있는 조건은 이 경우이며 여기 다시 써보면 x가 3보다 작을 때 g(x)는 log(3x) 그리고 이 함수는 정의되고 구하고자 하는 범위에서 연속이므로 x가 0보다 클 때 연속이므로 x에 3을 대입해도 됩니다 극한값을 구하기 위해서요 즉 이 값은 log 3 곱하기 3 다시 말하면 log(9) 입니다 log에 밑수를 쓰지 않으면 10이라는 의미를 포함합니다 즉 밑수는 10 입니다 가끔씩 놓칠 때도 있으니 유의해두면 좋습니다 이제 다른 경우를 생각해봅시다 반대 경우인 x가 3보다 큰 값에서 3에 수렴할 때 g(x) 극한값을 구하려면 이는 x가 3보다 클 때로 x=3에서 g(x)의 우극한 값은 이렇게 표기할 수 있고 g(x)는 x가 3보다 크므로 4-x 곱하기 log(9) 이 식이 로그꼴의 함수 보일 수 있지만 log(9) 를 보았을 때 상수일 뿐이므로 1에 가까운 상수를 곱한 것으로 이 식은 선형함수입니다 x가 3보다 클 때 g(x)는 선형함수가 복잡하개 보일 수 있지만 모든 실수에 대해 정의되며 x에 어떤 값을 넣어도 연속입니다 극한값을 구하기 위해서 이 식이 x가 3보다 큰 값에서 3에 수렴하면 3을 대입하면 됩니다 그러면 4-x 곱하기 log(9)으로 밑수 10인 log(9)이고 따라서 좌극한값과 우극한값이 같습니다 두 값 모두 log9이므로 이 답은 log(9) 끝