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주요 내용

동영상 대본

이번 영상에서는 연속성의 정의를 좀 더 엄격하게 내려보려고 합니다 연속성의 통상적인 개념에 대해서 우리가 이전에 직관적으로 이해하고 있었던 것은 함수가 어떤 점에서 연속되는 경우 연필을 들었다 놓지 않고도 그 점을 지나 함수의 그래프를 그릴 수 있다는 것이었습니다 이것의 정확한 의미가 무엇일까요? 방금 말했던 정의는 그렇게 엄격하지 않습니다 전혀 엄격하지 않아요 여기에 있는 점에 대해 고려해봅시다 이것을 점 C라고 합시다 연필을 들었다 놓지 않고도 이 점에서 함수의 그래프를 그릴 수 있다면 함수는 해당 점에서 연속됩니다 그러니 여기에서 시작해서 연필을 들었다 놓지 않고도 보시는 것처럼 해당 점을 지나갈 수 있죠 따라서 이 함수는 해당 점에서 연속된다고 말할 수 있습니다 하지만 만약 함수가 다르게 생겼다면 어떨까요 이렇게 생긴 함수입니다 점 c까지는 정의되어 있다가 중간에 점프를 해서 다른 지점에서 계속됩니다 이 함수의 경우에는 x가 c가 되는 지점을 지나면서 연필을 들었다 놓지 않고 함수 그래프를 그리기는 불가능합니다 연필이 종이에 닿아 있죠 계속 닿아 있습니다 그런데 이 지점에서 연필을 들지 않고도 어떻게 함수 그래프를 계속 그릴 수 있을까요? 연필을 들어서 이 지점에서 다시 놔야겠죠 따라서 이것이 함수가 해당 점에서 연속되지 않는다는 것을 직관적으로 이해하는 방법입니다 이제 연속성의 정의를 정식으로 내려봅시다 그리고 그 정의가 직관적으로 이해되는지 한 번 봅시다 어떤 점에서의 연속성부터 시작해 봅시다 함수 f는 x가 c가 되는 지점에서 연속됩니다 함수 f는 x가 c가 되는 지점에서 연속됩니다 다음 전제 하에서만 말입니다 이 화살표는 명제가 아래 조건 하에서만 성립한다는 뜻입니다 x가 c에 한없이 가까워질 때 f(x)의 양쪽 극한은 f(c)와 같습니다 상당히 기술적이고 복잡해 보이네요 하지만 이 명제가 내포하는 의미에 대해 생각해 봅시다 그것은 바로 x가 양쪽 방향으로부터 c에 한없이 가까워질 때 f(x)가 그 지점에서의 실제 함수값과 동일하다면 해당 점에서 함수는 연속된다는 것입니다 세 가지 예제를 살펴봅시다 첫 번째 예제부터 살펴보아요 연필 들었다 놓기 정의에서는 어떤 점에서 연속되다는 것이 무슨 느낌인지 알았습니다 이제 어떤 점에서 연속되지 않는 것이란 무엇인지 두 가지 정도의 예제를 통해 알아보고 우리가 내린 엄격한 정의가 어떻게 적용되는지 알아봅시다 우리의 함수 여기 그려진 함수 그래프가 y는 f(x)라고 가정합시다 우리가 신경써야 할 부분은 x가 c인 이 점에서 함수가 어떻게 되는지입니다 이것이 x축이고 이것이 y축입니다 x가 c일 때 함수가 어떻게 되는지가 중요합니다 여기서 눈여겨볼 것은 직관적으로 봤을 때 연필을 들었다 놓지 않고도 x가 c가 되는 점을 지나며 함수를 그릴 수 있습니다 함수가 연속되는 것처럼 느껴집니다 중간에 점프나 불연속성이 있는 것처럼 느껴지지 않고 함수가 계속되는 것처럼 보입니다 함수 전체가 연결되어 있다고 볼 수 있습니다 하지만 이 정의에 대해 고려해 봅시다 x가 왼쪽으로부터 c에 가까워질 때 마치 f(c)에 가까워지는 것처럼 보입니다 여기 표시된 것이 f(c)의 값입니다 x가 오른쪽으로부터 c에 가까워질 때 이때도 역시 f(c)에 가까워지는 것처럼 보입니다 x가 c인 점에서 함수는 정의되어 있고요 그리고 정의된 함수값은 왼쪽과 오른쪽 양 방향으로부터 가까워지는 값이기도 합니다 이 경우에는 정의가 잘 맞아떨어집니다 이제 다른 경우들을 좀 살펴보죠 함수 그래프를 그리려면 연필을 들었다 놔야지만 x가 c가 되는 점을 지날 수 있는 경우들을 살펴봅시다 한 가지 경우를 살펴봅시다 점 불연속성이라 불리는 경우에 대해 살펴봅시다 물론 이 시점에서 점 불연속성의 정식 정의에 대해 반드시 알 필요는 없습니다 이런 함수가 있다고 가정합시다 이것이 점 c입니다 이제 주어진 함수가 이렇게 생겼다고 가정합시다 함수 그래프는 이렇게 생겼고 c에서의 함수값은 이 값입니다 f(c)는 이 값과 같을 겁니다 x가 c에 가까워질 때 극한값은 무엇일까요? x가 c에 가까워지면서 이처럼 f(x)의 양쪽 극한이 됩니다 왼쪽으로부터 가까워지면서 여기 이 값을 향해 가까워지는 것처럼 보입니다 그리고 오른쪽으로부터 가까워지는 값 역시 같은 값으로 보입니다 이 값을 L이라고 부릅시다 L은 f(c)와는 다른 값입니다 여기에서 정식 정의에 따르면 함수 f(x)는 x가 c일 때 연속되지 않습니다 여기서 볼 수 있죠 이것을 그려보려고 하면 연필이 표면에 닿아 있고 계속 닿아 있다가 이 지점에서 함수를 계속 그리려면 연필을 들어서 이 지점으로 옮긴 다음 다시 연필을 들어 원래의 지점으로 내려와야 합니다 전에 내렸던 엄격한 정의 역시 같은 결론을 내리고 있습니다 왼쪽과 오른쪽 양 방향으로부터 x값이 c에 가까워질 때의 극한값은 f(c)와는 다른 값입니다 따라서 이 함수는 연속되지 않습니다 연속되지 않음 다른 경우도 한 번 생각해봅시다 이런 경우를 한 번 생각해 보죠 양쪽 극한이 아예 존재하지 않는 경우 말이죠 여기 x축과 y축이 있습니다 그리고 함수가 이런 식으로 그려진 후 이 지점에서 이렇게 된다고 해 봅시다 여기 이 점이 c라고 합시다 이 점의 값이 f(c)입니다 좀더 깔끔하게 그려볼게요 이것이 f(c)입니다 x가 왼쪽으로부터 c에 가까워질 때 극한값은 어떻게 될까요 c보다 작은 값들으로부터 f(c)에 가까워지는 것처럼 보입니다 하지만 x가 오른쪽으로부터 c에 가까워질 때의 극한값을 살펴보면 다른 값을 향해 가까워지는 것처럼 보입니다 여기 이 값을 향해 가까워지는 것처럼 보입니다 이 값을 L이라고 부릅시다 x가 L에 가까워지고 있고 L은 f(c)와 다른 값입니다 따라서 이 상황에서는 양쪽 극한이 아예 존재하지 않습니다 왼쪽과 오른쪽 양 방향에서 서로 다른 값을 향해 가까워지고 있습니다 따라서 c에서 극한값이 아예 존재하지도 않으니 함수는 당연히 연속되지 않습니다 이것은 우리가 이전에 사용한 연필 들었다 놓기 테스트와도 맞아떨어집니다 이 함수를 그려 봅시다 연필이 종이에 닿아 있습니다 계속 닿아 있죠 이 지점에서 연필을 들지 않고 어떻게 그래프를 계속 그릴 수 있을까요? 연필을 들었다가 다시 놓고 계속 그려야만 하겠죠 따라서 이 함수 역시 연속되지 않습니다 연필 들었다 놓기 정의를 통한 직관적인 이해와 이전에 내렸던 엄격한 정의 이 경우에는 x가 c일 때 양쪽 극한이 존재하지 않으니 당연히 함수 또한 연속되지 않습니다 하지만 양쪽 극한이 존재하더라도 극한값이 함수값과 다르다면 함수는 연속되지 않습니다 함수가 연속되는 유일한 경우는 양쪽 극한이 함수값과 같은 값을 가질 때입니다 이 조건이 성립한다면 함수는 연속되며 함수가 연속된다면 이 조건 역시 성립합니다