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문제 풀이 : 그래프 위의 점에서의 연속성

동영상 대본

이곳에 y=g(x)의 그래프가 있습니다 여기 이 문장들이 맞는 것들인지 확인해보고 맞으면 체크해봅시다 항상 했던 것처럼 잠시 영상을 멈추고 스스로 문제를 해결해봅시다 이제 첫번째 문장을 살펴봅시다 첫번째 문장은 g(x)의 x=6에서의 우극한과 g(x)의 x=6에서의 좌극한이 모두 존재한다 입니다 그러면 첫번째로 g(x)의 x=6에서의 우극한을 생각해봅시다 6보다 큰 값을 가지면서 6으로 접근하는 경우입니다 이 부분을 살펴보면 x=9일 때 g(9)은 이곳이고 g(8)은 여기 g(7)은 여기 -3과 -4의 사이인 것 같습니다 g(6.5)는 여기 여전히 -3과 -4의 사이에 있는데 -3에 조금 더 가까워졌습니다 g(6.1)은 조금 더 -3에 가까워집니다 g(6.01)은 -3에 더 가까워집니다 우극한이 존재하는 것 같습니다 이것은 존재합니다 그래프를 통해 살펴보고 있는 중입니다 이런 방식으로 스스로 연습할 때 해보시면 됩니다 이번에는 g(x)의 x=6에서의 좌극한을 생각해봅시다 어디에서든 시작해도 됩니다 x=3일 때 g(3)은 1보다 약간 큽니다 g(4)는 2보다 약간 작은 것 같습니다 g(5)는 3에 가까운 것 같네요 g(5.5)는 5와 6사이에 있습니다 g(5.75)는 9에 가까운 것 같네요 점점 가까이 가면 갈수록 6보다 작은 수에서 가까이 가면 갈수록 한계가 없이 무한으로 가고 있습니다 그래서 극한이 존재하지 않는다고 할 수 있습니다 이것은 존재하지 않습니다 이것은 체크하지 않겠습니다 어떤 사람들은 극한이 무한대라고 합니다 하지만 우리가 일반적으로 이야기하는 극한의 정의에서 무한대는 수치가 아닙니다 그렇기 때문에 이것은 존재하지 않는다고 합니다 이제 x가 6으로 한없이 가까워질 때 g(x)의 극한이 존재하는지 알아봅시다 극한이 존재하는지 알아보는 방법은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 그들이 같은 값으로 접근하는지 확인하는 것입니다 g(x)의 x=6에서의 좌극한이 존재하지 않았습니다 따라서 이 문장은 옳지 않습니다 이 문장도 틀렸고 첫번째 문장도 틀렸습니다 세번째 문장은 g가 x=6에서 정의되었다 입니다 x=6에서 g는 정의되지 않은 것 같습니다 이 그래프를 보면 g(6)가 무엇인지 알 수가 없습니다 여기 보면 열린 동그라미가 있기 때문에 g(6)는 -3이 아닙니다 또한 이쪽은 무한대로 가는 중이기 때문에 수직으로 된 점근선이 x=6에서 그려져 있습니다 그렇기 때문에 g는 x=6에서 정의되어있지 않습니다 이 문장도 배제하겠습니다 네번째는 g는 x=6에서 연속이다 입니다 그래프를 통해 볼 수 있듯이 무한으로 가다가 아래로 점프해서 내려와서 이어집니다 상식적으로 생각해보면 이것은 불연속입니다 연속인지 아닌지 조금 더 엄밀하게 생각해보자면 먼저 주어진 값에서 극한이 존재해야합니다 주어진 값에서 함수는 정의되어야하고 함숫값은 극한값과 같아야합니다 이 중 어떤 것도 존재하지 않기 때문에 서로 같을 수도 없게 됩니다 그래서 g는 x=6에서 연속이 아닙니다 위의 어떤 것도 만족하지 않는다에 체크하겠습니다 다른 문제 하나를 더 보겠습니다 첫번째 문장은 x=3에서의 좌극한과 우극한이 존재하는가 입니다 생각해봅시다 x=3일 때 이 곳에서 불연속입니다 3보다 큰 값에서 3으로 점점 가까이 가보겠습니다 x=5일 때 g(5)는 -3보다 조금 더 작습니다 g(4)는 -2와 -3 사이에 있고 g(3.5)는 -2에 점점 가까워집니다 g(3.1)는 더 -2에 가까워지고 있고 g(3.01)은 -2와 더 가깝습니다 그렇기 때문에 여기 이 극한은 이 극한은 존재합니다 실제로 -2로 한없이 가까워지고 있습니다 -2와 같다고 적겠습니다 x=3에서의 함수 g(x)의 우극한이었고 이제는 x=3에서의 g의 좌극한을 살펴봅시다 여기에서 시작하겠습니다 g(1)은 -1보다 약간 큰 것 같습니다 g(2)는 1보다는 약간 작습니다 g(2.5)는 1과 2사이에 있습니다 g(2.9)는 2보다는 아주 약간 작은 것 같고 g(2.99)는 2에 점점 가까워지며 g(2.99999)는 2에 더 가까워집니다 그래서 x=3에서의 g의 좌극한은 2입니다 x=3에서의 우극한과 좌극한은 모두 존재합니다 두번째 문장은 x=3에서 g(x)의 극한이 존재한다 입니다 첫번째 문장은 한쪽 방향에서의 극한이었고 두번째 문장은 실제 극한입니다 이 극한이 존재하는지 알아보기 위해서는 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 같은 값으로 접근해야합니다 첫번째 문장에서 살펴보았듯이 우극한과 좌극한은 모두 존재하지만 서로 다른 값으로 접근합니다 오른쪽에서 접근하면 -2로 다가가는 중이었고 왼쪽에서 접근하면 2로 다가갑니다 그래서 이 극한은 존재하지 않습니다 이 문장에는 체크박스에 체크하지 않겠습니다 세번째 문장은 g는 x=3에서 정의된다 입니다 x=3일 때 검게 칠해진 점을 볼 수 있습니다 실제로 정의되어 있습니다 네번째 문장은 g는 x=3에서 연속이다 입니다 g가 x=3에서 연속인지 알아보기 위해서는 x=3에서의 극한이 존재해야하고 x=3에서 정의되어야 하며 x=3에서의 함숫값과 x=3에서의 극한값이 같아야만 합니다 x=3에서 함수는 정의되어 있습니다 하지만 x=3에서의 극한이 존재하지 않습니다 그렇기 때문에 연속일 수 없습니다 x=3에서 연속이 아닙니다 이 문장도 건너 뛰겠습니다 마지막 문장에는 체크하면 안됩니다 우리는 이미 위의 두 문장에 체크를 했기 때문입니다