도함수의 개념

아마도 여러분은 이미 직선의 기울기의 개념이 익숙할 것입니다 익숙하지 않다면 칸아카데미에서 복습하기를 추천합니다 기울기란 그저 수직 변수의 변화율을 수평 변수를 통해 나타내는 것입니다 예를 들어 여기 수직 방향의 y축이 있고 수평 방향의 x축이 있습니다 이 직선의 기울기를 구하려면 두 점을 정하면 됩니다 이 점과 이 점이라고 합시다 그러면 이 점에서 이 점까지 x의 변화량은 얼마일까요? x의 변화량은 이 거리와 같을 것입니다 x의 변화량 그리스 기호 델타 혹은 이 삼각형은 "변화"를 나타내는 표기입니다 y의 변화량도 구할 수 있습니다 이 점에서 이 점으로 올라갈 때 이만큼이 y의 변화량입니다 이제 기울기를 정의해야 합니다 y의 변화량에서 x의 변화량을 나눈 것이 기울기이고 따라서 기울기는 수직 변수의 변화량에서 수평 변수의 변화량을 나눈 것이고 이것은 rise over run이라고도 불리며 어느 직선에서건 이 값은 기울기와 관련되어 있는데 이는 변화율이 일정하기 때문입니다 이 직선에서 임의의 두 점을 고르면 두 점이 얼마나 멀리 혹은 가까이 있건 두 점이 직선 위에 있기만 하면 기울기를 계산해 봤을 때 항상 같은 값이 나온다는 것을 알 수 있습니다 이것이 바로 직선의 정의입니다 미적분에서 흥미로운 것은 우리는 어떤 도구를 만들어 낼 것이라는 겁니다 이 도구는 "기울기"라고도 불리는 직선의 변화율뿐만 아니라 곡선의 변화율 즉 곡선의 순간적인 변화율 다시 말해 변화율이 지속적으로 바뀌고 있는 상황에 필요한 도구입니다 예를 들어 여기 어떤 곡선이 있는데 x의 변화율 대비 y의 변화율이 지속적으로 변화하고 있습니다 우리가 기존의 도구들을 사용하려고 한다고 해도 만약 평균변화율을 계산해 본다고 합시다 이 점과 이 점 사이에 말이죠 어떤 값이 나올까요? 이 점과 이 점 사이의 평균변화율은 두 점을 잇는 직선의 기울기와 동일합니다 따라서 이 할선의 기울기와 같을 겁니다 하지만 다른 두 개의 점을 고르면 만약 이 점과 이 점을 고르면 두 점 사이의 평균변화율은 아까와는 완전히 다를 겁니다 더 높은 기울기를 가진 것처럼 보입니다 따라서 두 점 사이의 할선의 기울기를 구한다고 해도 기울기가 계속 달라지는 것을 알 수 있습니다 좀 더 흥미로운 질문을 던져보면 어떨까요 어떤 점에서의 순간변화율은 무엇일까요? 예를 들어 그 특정 점에서 y는 x 대비 얼마나 빠르게 변화하고 있나요? x가 정확히 그 값일 때 말이죠 이 점을 x1이라고 부릅시다 여기서 가질 수 있는 관점 하나는 이 점에서 접선을 그려보는 것입니다 접선이란 정확히 이 지점에서 그래프와 만나는 직선인데 이 직선의 기울기를 구하면 어떨까요? 접선의 기울기가 바로 순간변화율일 것입니다 이 경우에는 접선이 아마 이런 형태이겠죠 이 접선의 기울기를 알면 그것이 바로 이 점에서의 순간변화율이라고 말할 수 있습니다 순간변화율이라고 지칭하는 이유는 무엇일까요? 단거리 육상 선수들에 대한 영상을 상기시켜 보세요 우사인 볼트 예제 말입니다 어떤 특정 순간에서 우사인 볼트의 속도를 계산하려고 한다면 이 그래프의 y축을 위치 x축을 시간이라고 가정할 수 있겠죠 보통 변수 t가 시간에 쓰이지만 여기서는 x를 사용하겠습니다 그러면 이 특정 순간을 고려한다면 순간변화율을 구해야 하고 이 개념이 바로 미분학의 중심 개념인데 이를 도함수라고 부릅니다 접선의 기울기는 순간변화율이라고 볼 수 있는데 개념적으로 아주 중요하기 때문에 여기 느낌표를 붙이겠습니다 도함수를 어떻게 표기하면 좋을까요? 한 가지 방법은 라이프니츠 표기법을 쓰는 것입니다 라이프니츠는 아이작 뉴턴과 같이 미적분의 아버지 중 한 명입니다 라이프니츠 표기법은 접선의 기울기를 dy / dx로 표기하는 것입니다 이 표기법이 마음에 드는 이유가 무엇일까요? 왜냐하면 기울기의 주요 개념인 y의 변화량 / x의 변화량에서 유래했기 때문입니다 이후의 영상들에서 볼 수 있겠지만 접선의 기울기를 이해하는 한 가지 관점은 다음과 같습니다 할선의 기울기를 구해봅시다 이 점과 이 점 사이라고 가정합시다 그리고 좀 더 거리를 좁혀서 이 점과 이 점이라고 합시다 그리고 더욱 거리를 좁혀 이 점과 이 점이라고 합시다 그리고 거리를 더욱 좁혀서 x의 변화량이 0에 가까워질 때 무슨 일이 일어나는지 봅시다 델타 대신 d를 사용하는 것은 라이프니츠의 x의 변화량이 0에 가까워지면 무슨 일이 일어나는지 나타내는 방법이었던 겁니다 이 개념은 미분 표기 혹은 라이프니츠 표기라고 불리며 단순히 y의 변화량에서 x의 변화량을 나눈 것이 아니라 미세한 y의 변화량 대비 미세한 x의 변화량을 나타내며 특히 x의 변화량이 0에 가까워짐을 나타냅니다 앞으로 알게 되겠지만 이것이 우리가 도함수를 구하는 방법이 될 것입니다 다른 표기법들도 있습니다 이 곡선이 y는 f(x)의 그래프라면 이 점에서의 접선의 기울기는 f'(x1)으로 표기할 수 있습니다 이 표기법은 익숙해지려면 다소 시간이 필요한데 바로 라그랑주 표기법입니다 이 표기법에서는 f'이 도함수를 나타냅니다 어떤 점에서의 접선의 기울기를 나타냅니다 이 함수의 x에 어떤 값을 치환하면 그에 따른 y값이 나오게 됩니다 f' 식의 x에 어떤 값을 치환하면 그 점에서의 접선의 기울기가 나오게 됩니다 미적분 수업보다는 물리 수업에서 자주 보게 될 표기법이 하나가 더 있는데 이것은 y 위에 점이 찍혀 있는 표기법입니다 y 위에 점이 찍혀 있다면 이것 또한 도함수를 나타냅니다 y' 역시 보게 될 수도 있습니다 이 표기법은 수학 수업에서 좀 더 자주 보일 것입니다 이제 미적분의 모험을 계속하면서 이러한 것들을 계산하기 위한 도구들을 만들어 볼 것입니다 만약 여러분이 극한에 대해 이미 익숙해져 있다면 그 지식들이 유용하게 쓰일 텐데 왜냐하면 y의 변화량에서 x의 변화량을 나눈 것의 극한값을 구하게 될 것이기 때문입니다 x가 0에 가까워질 때 말이죠 그리고 그저 어떤 점에서의 극한값을 구하는 데 그치지 않을 것입니다 임의의 점에서의 도함수를 나타내 주는 일반적인 식들에 대해 배울 것입니다 그러니 기대하셔도 좋습니다