도함수 & 접선의 방정식

(2,3)에서의 함수의 그래프의 접선을 구해 봅시다 접선은 (7,6)을 지나는 함수입니다 f'(2)를 찾아봅시다 이와 같은 유형을 풀 때에는 시각화하는 것이 중요합니다 그림으로 표현하거나 머릿속에 시각화해봅시다 하지만 여러분이 제 머릿속을 볼 수 없기 때문에 저는 그려보겠습니다 우리에게 주어진 정보를 그려보겠습니다 이것은 x축이고 이것은 y축입니다 관련된 점인 (2,3)과 (7,6)도 나타내 봅니다 1,2,3,4 5,6,7을 x축을 따라 그리고 1,2,3,4 5,6을 y축을 따라 그립니다 이 점 (2,3)을 나타내 봅시다 (2,3)은 여기가 되겠고 또한 점 (7,6)은 여기에 나타낼 것입니다 문제를 다시 읽어봅시다 점(2,3)에서 함수 f(x)의 접선을 구하는 것입니다 접선은 (7,6)을 지나는 함수이고요 이 점에서의 그래프의 접선이 있다면 그것은 반드시 (2,3)을 지납니다 그 점은 그래프와 접선이 교차하는 유일한 지점이며 또한 접선은 (7,6)을 지납니다 선을 정의하기 위해서 우리는 오직 두점만 필요합니다 그래서 접선은 이런 형태로 생기게 됩니다 이렇게 생기겠죠 맞지 않네요 다시 그려보겠습니다 완벽히 맞지 않네요 다시 한번 그려보겠습니다 된 것 같습니다 그래서 접선은 이런 형태로 생길 것입니다 점(2,3)에서의 f의 접선은 점(7,6)을 지나고 f에 관한 다른 정보를 알지 못하지만 f의 형태를 상상해볼 수 있습니다 함수 f는 이런 형태로 생길 것입니다 선이 이 점에서 함수 f의 접선이 되어야만 하기 때문에 함수 f는 이런 형태로 생길 것입니다 f'(2)를 찾으라는 문제의 진정한 의미는 x=2일 때 접선의 기울기는 무엇인가이다 그래서 x=2일 때 접선의 기울기는 이 선의 기울기입니다 문제에서는 접선 위에 놓여진 두 점을 알려준 것입니다 그래서 우리는 이 기울기를 알아야합니다 이 곳에서의 함수의 변화율인 미분계수가 될 것이기 때문입니다 접선의 기울기일 것입니다 이것이 접선이기 때문입니다 모두가 알다시피 기울기는 (y의 변화량)/(x의 변화량)입니다 점(2,3)에서 점(7,6)으로 변할 때 x의 변화량 △x는 x=2에서 x=7로 가기 때문에 x의 변화량 △x=5입니다 y의 변화량 △y는 y=3에서 y=6으로 가기 때문에 y의 변화량 △y=3입니다 △y/△x는 3/5이고 이것은 접선의 기울기입니다 x=2에서 함수의 미분계수가 되겠습니다 왜냐하면 이것은 x=2에서의 접선이기 때문입니다 이런 유형의 다른 문제를 풀어봅시다 함수 g에 대해서 g(-1)=3이고 g'(-1)=-2라는 정보가 주어져있습니다 x=-1에서의 함수g의 접선의 방정식은 무엇인가? 다시 해봅시다 그래프를 그려보는 것이 도움이 될 듯합니다 y축과 x축을 그리고 문제를 다시 봅시다 g(-1)=3이라는 것을 알고 있습니다 점(-1,3)이 함수 위에 있습니다 -1과 1 2 3 이 점이 (-1,3)이 되겠습니다 함수 g 위에 있는 점입니다 또한 g'(-1)=-2라는 것도 알고 있습니다 함수 g의 이 점 위에서의 접선의 기울기가 -2라는 것입니다 접선의 기울기는 x=-1일 때 -2입니다 이 정보를 이용하여 실제 접선을 그릴 수 있습니다 이런 형태로 생겼을 것입니다 다시 그려보겠습니다 기울기가 -2인 그래프는 이런 형태로 생기게 됩니다 볼 수 있듯이 x축 방향으로 1만큼 증가할 때 y축 방향으로는 2만큼 감소합니다 그래서 기울기가 -2인 것입니다 g는 어떻게 생겼을 지 궁금할 수 있습니다 함수 g의 그래프를 추측하여 그려볼 수 있습니다 g는 아마 이런 형태로 생겼을 것입니다 (-1,3)에서 접하도록 이런 형태로 생겼을 것입니다 우리가 생각해야할 것은 이 초록색 선의 방정식입니다 할 수 있는 것은 몇 가지 방법이 있습니다 직선의 방정식을 정의할 수 있는 방법에는 여러가지 방법이 있습니다 y=mx+b 형태의 선은 기울기가 m이고 y절편이 b입니다 우리는 이 선의 기울기는 알고 있습니다 기울기는 -2입니다 그렇기 때문에 y=-2x+b y=-2x+b라고 할 수 있습니다 b를 풀어내기 위해서 접선 위에 점 (-1,3)을 알고 있습니다 몇 년전에 배운 대수학 1로 돌아가봅시다 x대신에 -1, y대신에 3을 대입하면 됩니다 y가 3이므로 3 3은 -2 곱하기 -1 더하기 b 입니다 3=-2(-1)+b -2와 -1을 곱하면 2가 되고 양변에서 2를 빼면 b의 값이 1이라는 것을 얻을 수 있습니다 접선의 방정식을 얻었습니다 y= -2x+1입니다 이 식을 구하는 다른 방법들이 있는데 한 점과 기울기의 형태로 구할 수도 있습니다 일반형에서 문제를 해결할 수도 있지만 이 방법이 제가 가장 좋아하는 방법입니다