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이차방정식의 근의 공식 이용하기: 근의 개수

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방정식의 해의 갯수를 구하라 x^2 + 14x + 49 = 0 푸는 방법은 여러가지에요 인수분해로 만족하는 x값을 구한뒤 근이 몇개인지 세도됩니다 그 갯수가 답이 되고요 아니면 근을 구하는 공식(=근의공식)을 이용해도 됩니다 그러나 저는 근의공식을 이용해 x값을 구하지 않고도 근의 갯수가 몇개인지 찾으려 합니다 정확하게요 근의 공식은 ax^2+bx+c=0 형태의 이차방정식이 있으면, 해가 존재한다면 해는 -b± 루트(b^2-4ac ) 를 -b± 루트(b^2-4ac) 를 2a로 나눈 것과 같습니다 해가 2개거나 2개일 수 있는 이유는 ±가 있기 때문이죠. b^2-4ac가 양수일때를 생각해봅시다 b^2-4ac가 0보다 크면 어떻게 될까요? 이게 양수니까, 제곱근을 갖겠죠. )b^2-4ac)를 -b에 더하면 이 분자가 하나의 근이고 (b^2-4ac)를 -b에 빼면 이 분자도 또다른 근이 되는거죠 그래서 해는 두개가 됩니다 2개의 해 만약에 b^2-4ac가 0이면 어떻게 될까요? 루트 안의 값이 0이면 0의 제곱근이 되므로 -b ± 0이 됩니다 0을 더하거나 빼도 값이 변하지 않으므로 값은 똑같게 나오고요 그래서 이 때, 방정식의 근은 -b/2a가 됩니다 ±가 없으므로 상관없어지네요. 그래서 한개의 근을 갖게됩니다 따라서 b^2-4ac가 0이라면, 한개의 근을 갖습니다 그렇다면 b^2-4ac가 0보다 작으면 어떻게 될까요? b^2-4ac이 0보다 작으면 루트 안이 음수이므로 음수의 제곱근이 생깁니다 알다시피, 실제로 존재하는 수를 다루므로 말이 안됩니다 제곱해서 음수가 나오는 실수는 존재하지 않으니까요 그래서 이때 해는 없습니다 실수인 해는 없다는 거에요 실수인 해는 없다는 거에요 이 방정식에 대해서 생각해봅시다 이 방정식에 대해서 생각해봅시다 혹시 여러분이 이 b^2-4ac라는식의 혹시 여러분이 이 b^2-4ac라는식의 이름을 가지고 있는지 궁금할 수 있습니다 이건 '판별식'이라고 불립니다 판별식 판별식입니다. 이차방정식의 이 부분이 해가 몇개인지를 결정합니다. 따라서 방정식에서 해의 갯수를 알기위해 이차방정식을 다 풀 필요가 없습니다 구하는게 오래 걸리지는 않지만요 단지 b^2-4ac를 계산하면 됩니다 b^2-4ac하면 어떻게 되죠? b는 14고요 14^2 - 4ac , a는1이고, c는49네요 14^2 - 4ac , a는1이고, c는49네요 14^2 - 4 X 1 X 49 14 곱하기 14는 몇이죠? 계산해 봅시다 14 X 14. 4 X 4는 16이고 4 X 1은 4 4+1은 5니까 56이고 0 놓고, 1 X 14는 14. 더하면 6, 9, 1 196이네요 이건 196이고 1은 무시하고 4 곱하기 49는 몇이죠? 49 X 4, 4 X 9는 36이고, 4 X 4는 16, 16+ 3은 190, 따라서 196이죠 여긴 196이고요 b^2-4ac는 196 - 196이고 196 에서 196을 빼면 0이죠 따라서 이땐 판별식 값이 0인 상황이네요 그럼 해가 하나죠 만약 그 해를 구한다면 이 부분 전체가 0의 제곱근이니까 그냥 0이 되죠 그래서 해는 -2a/b가 되겠네요 풀어본다면 -b는 -14고 이걸 2a로 나누는데 a가 1이니까, 2가 되네요 그럼 답은 -7이죠 이게 이 방정식의 하나의 해입니다 그치만 해가 몇개인지만 궁금하다면 단지 b^2-4ac가 0인지만 구하면됩니다 따라서 해가 하나네요 다른 방법도 있습니다 쉽게 인수분해를 할 수 있었을텐데 x+7곱하기x+7을 해도 똑같은 결과가 나오죠