예제: 이차방정식의 근의 공식2

이차방정식의 근의 공식을 이용하여 방정식을 풀어봅시다 -x제곱 더하기 8x는 1입니다 그럼, 이차방정식의 근의 공식을 사용하거나 a, b, c를 알기 위해서 방정식 ax제곱 더하기 bx 더하기 c는 0을 만들어 봅시다 그리고 나서, 우리가 a와 b와 c를 안다면 이 방정식은 x를 -b 플러스 마이너스 루트 b제곱 빼기 4ac를 2a로 나눈 것으로 두면 됩니다 그러니까 이 방정식을 풀기 위한 첫번째 방법은 이 공식을 대입하는 것입니다 그리고 이 방정식의 한 쪽에 -x제곱 더하기 8x가 있어서 앞의 두 개인 것 같은데 상수는 다른 쪽에 있네요 그러니까 상수를 왼쪽으로 옮겨주고 0을 오른쪽에 만들어 줍시다 그럼 방정식의 양 변에 1을 빼면 되지요 방정식의 좌변은 -x제곱 더하기 8x 빼기 1이 됩니다 그리고 우변은 1 빼기 1로 0이 되지요 이제 이것을 공식에 집어넣습니다 ax제곱에서 a는 -1이 됩니다 이것을 적읍시다 a는 -1입니다 여기에 포함되어있으니까 원하면 여기에 1을 적으면 됩니다 -1을요 -x제곱은 -1x제곱과 같으니까요 b는 8입니다 b는 8이니까 8이 여기 있네요 그리고 c는 -1입니다 바로 여기 있는 -1입니다 그럼 이제 근의 공식에 적용할 수 있습니다 이 방정식을 풀려면 x는 -b 플러스 마이너스 루트 b제곱, 그러니까 8제곱 -4ac (녹색으로 표시할게요), -4입니다 녹색도 공식의 한 부분입니다 똑같은 색깔이 우리가 공식에 대입하는 부분입니다 -4 곱하기 a, 즉 -1을 곱합니다 또 c인 -1을 곱합니다 그리고 루트 기호를 조금만 더 길게 그립시다 이 모든 것을 2 곱하기 a로 나눕니다 이 경우에 a는 -1이지요 이 식을 간단하게 만들어 줍시다 그러면 이것은 -8이 되고, 플러스 마이너스 루트 8제곱은 64이죠 그리고 -1 곱하기 -1은 그냥 1이 되지요 그러니까 64 빼기 4입니다 이것은 그냥 여기 있는 4입니다 이 모든 것을 -2로 나눕니다 그러면 이것은 -8 플러스 마이너스 루트 60을 -2로 나눈 것과 같습니다 그리고 이 근호를 간단하게 만들 수 있는지 봅시다 루트 60을요 60은 2 곱하기 30과 같습니다 30은 2 곱하기 15와 같습니다 그리고 15는 3 곱하기 5입니다 그러니까 여기에 완전 제곱이 있네요 2 곱하기 2가 있습니다 이것은 2 곱하기 2 곱하기 15이거나 4 곱하기 15입니다 그래서 이렇게 적을 수 있지요 루트 60은 루트 4 곱하기 루트 15와 같습니다. 그렇죠? 루트 4 곱하기 루트 15는 루트 60입니다 4 곱하기 15이지요 그러니까 이것은 루트 4, 그러니까 2 곱하기 루트 15와 같습니다 이 표현을 여기에 다시 적으면 -8 플러스 마이너스 2 곱하기 루트 15에 -2를 나눈 것과 같습니다 여기 이 항들은 2나 -2로 나눌 수 있습니다 그럼 나눠봅시다 -8을 -2로 나누면 4가 되지요 이것을 여기에 적어 봅시다 -8 나누기 -2는 4입니다 그리고 여기에 이상한 것이 있네요 플러스 마이너스 2 나누기 2입니다 여기에는 두가지 식이 있습니다 2를 -2로 나누면 -1이 됩니다 그리고 -2를 -2로 나누면 1이 됩니다 그러니까 플러스 마이너스 대신에 마이너스 플러스가 된다고 생각할 수 있지요 하지만 이것은 같은 것입니다 그렇죠? 그럼 이제 마이너스 플러스가 됩니다 플러스였다면 마이너스가 되겠지요 마이너스였다면 플러스가 되겠지요 마이너스 플러스 2 곱하기 루트 15가 있습니다 이것을 보는 다른 방법은 두가지로 나눠서 4 빼기 2 루트 15와 4 더하기 2 루트 15로 보는 것입니다 이것들은 둘 다 이 방정식에 만족하는 x의 값입니다 이것이 헷갈린다면, 제가 하는 방법은, 플러스 마이너스를 마이너스 플러스로 바꾸는 것입니다 여기에 조금 적어보도록 하지요 이 식을 두가지 식으로 적을 수 있습니다 그것이 플러스 마이너스가 정말로 의미하는 것이지요 -2분의 -8 더하기 2 루트 15가 있고 -2분의 -8 빼기 2 루트 15가 있습니다 이것은 -8 나누기 -2는 4로 간단하게 나타낼 수 있습니다 2 나누기 -2는 -1입니다 4 빼기 루트 15입니다 그리고 여기에서는 -8을 -2로 나눕니다 그러면 4가 되지요 그리고 -2 나누기 -2는 더하기 루트 15가 됩니다 제가 위에서 실수를 한 것을 방금 알아차렸네요 2를 -2로 나누면 여기에는 2가 오지 않죠 그냥 플러스 마이너스 루트 15가 됩니다 여기서 할 때 알아차렸네요 그러니까 이것은 빼기 루트 15입니다 그리고 이것은 더하기 루트 15입니다 이 방정식의 두 해는, 여기 살짝 옆에 공간을 조금 두어서 다행이네요 두 해는 x는 4 빼기 루트 15이거나 x는 4 더하기 루트 15가 되겠네요 두가지 x의 값 모두 이 원래의 이차방정식을 만족시킵니다