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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 14

단원 6: 이차방정식의 근의 공식
수학
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이차함수 & 이차방정식
이차방정식의 근의 공식
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이차방정식의 근의 공식 이해하기

구글 클래스룸
이차방정식에서 근의 공식이 어떻게 사용되는지 더 깊이 알아봅시다.
이차방정식의 근의 공식은 이차방정식을 푸는데 도움이 되고 수학에서 다섯 손가락에 드는 유명한 공식입니다. 공식을 외우는 것을 딱히 선호하지는 않지만, 이 공식은 외워두면 유용합니다. (이 공식을 어떻게 유도하는지와 어떻게 쓰는지를 알아야 합니다. 다음 동영상에서 다뤄보도록 하겠습니다!).
아래와 같은 방정식이 주어진다면:
a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0
근의 공식을 이용해 이차방정식의 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어 x의 값을 구해 방정식을 풀 때 말입니다.

이차방정식의 근의 공식

x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction
어려워 보이지만, 금방 익힐 수 있을 거예요.
이차방정식의 근의 공식 연습문제

예제

먼저 a, b, c의 값(계수)을 찾아야 합니다. 첫 번째로 식이 위와 같이 a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 형태인지 확인해 봅시다:
x, squared, plus, 4, x, minus, 21, equals, 0
  • a는 x, squared의 계수이므로, a, equals, 1입니다. 이때, a는 0이 될 수 없습니다. x, squared항이 있어야 이차식이 성립하기 때문입니다..
  • b는 x의 계수이므로, b, equals, 4입니다.
  • c는 상수항 또는 x가 없는 항입니다. 그러므로 c, equals, minus, 21입니다.
이제 a, b, c를 공식에 대입해 봅시다:
x, equals, start fraction, minus, 4, plus minus, square root of, 16, minus, 4, dot, 1, dot, left parenthesis, minus, 21, right parenthesis, end square root, divided by, 2, end fraction
이와 같이 풀면:
x=−4±1002=−4±102=−2±5\begin{aligned} x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{100}}{2} \\\\ &=\dfrac{-4\pm 10}{2} \\\\ &=-2\pm 5 \end{aligned}
그러므로, x, equals, 3 또는 x, equals, minus, 7입니다.

해는 무엇을 의미하나요?

두 개의 해는 방정식의 x절편, 즉 그래프가 x축과 교차하는 점을 의미합니다. 방정식 x, squared, plus, 3, x, minus, 4, equals, 0을 그리면 다음과 같습니다:
이차방정식 그래프 그리기
이차방정식 근의 공식의 해이자 절편인 점은 x, equals, minus, 4와 x, equals, 1입니다.
그런데 인수분해와 완전제곱꼴, 그래프를 이용해서 풀 수도 있는데, 왜 공식이 필요할까요?
그것은 첫 번째 예제보다 풀기 어려운 이차방정식이 더 많기 때문입니다.

두 번째 예제

인수분해하기 어려운 방정식을 풀어 봅시다:
3, x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 10
먼저 모든 항을 좌변으로 이항해 봅시다:
start underbrace, left parenthesis, 3, right parenthesis, end underbrace, start subscript, a, end subscript, x, squared, plus, start underbrace, left parenthesis, 6, right parenthesis, end underbrace, start subscript, b, end subscript, x, plus, start underbrace, left parenthesis, 10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, c, end subscript, equals, 0
공식을 적용하면 다음과 같습니다:
x=−6±62−4⋅3⋅102⋅3=−6±36−1206=−6±−846\begin{aligned} x&=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 3\cdot 10}}{2\cdot 3} \\\\ &=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-120}}{6} \\\\ &=\dfrac{-6\pm\sqrt{-84}}{6} \end{aligned}
허수를 이용하지 않고서는 음수의 제곱근을 취할 수 없습니다. 그러므로, 이 방정식에는 실수인 해가 없습니다. 이는 y, equals, 0인 점이 없다는 것을 의미하며, x축과 교차하지 않는다는 것을 의미합니다. 계산기에 그려서 확인할 수도 있습니다.
계산기에 표시된 이차방정식
이제 이차방정식의 근의 공식의 기초를 배웠습니다.
다음 동영상을 통해 더 많은 예제를 풀어 봅시다.

근의 공식을 이용할 때 알아두어야 할 점

  • 방정식을 올바른 형태인 a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0으로 나타내도록 주의해야 합니다. 그렇지 않으면 계산할 수 없습니다.
  • left parenthesis, b, squared, minus, 4, a, c, right parenthesis 전체에 근호를 씌우고, 2, a가 그 전체의 분모가 되어야 합니다.
  • 음수에 주의하세요. b, squared은 음수가 될 수 없습니다. b가 음수라고 해도 제곱한 수는 양수가 되어야 합니다. 음수이든 양수이든 제곱하면 모두 양수가 되기 때문입니다.
  • 항상 plus, slash, minus 부호를 붙여야 합니다. 해는 항상 두 개라는 것에 주의하세요.
  • 계산기를 사용한다면, 답은 소숫점 이하의 자릿수에서 특정한 수로 반올림 되어 나올 것입니다. 정확한 값을 구해야 하며 제곱근을 간단하게 만들기 어렵다면, 답에 제곱근을 그대로 쓰세요. 예를 들면, start fraction, 2, minus, square root of, 10, end square root, divided by, 2, end fraction와 start fraction, 2, plus, square root of, 10, end square root, divided by, 2, end fraction과 같이 쓸 수 있습니다.

다음 단계:

칸아카데미 동영상 래퍼
Using the quadratic formula동영상 대본 보기
  • 이차방정식의 근의 공식 증명하기:
칸아카데미 동영상 래퍼
Proof of the quadratic formula동영상 대본 보기