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주요 내용

이차방정식의 근의 공식 이해하기

이차방정식에서 근의 공식이 어떻게 사용되는지 더 깊이 알아봅시다.
이차방정식의 근의 공식은 이차방정식을 푸는데 도움이 되고 수학에서 다섯 손가락에 드는 유명한 공식입니다. 공식을 외우는 것을 딱히 선호하지는 않지만, 이 공식은 외워두면 유용합니다. (이 공식을 어떻게 유도하는지와 어떻게 쓰는지를 알아야 합니다. 다음 동영상에서 다뤄보도록 하겠습니다!).
아래와 같은 방정식이 주어진다면:
ax2+bx+c=0
근의 공식을 이용해 이차방정식의 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어 x의 값을 구해 방정식을 풀 때 말입니다.

이차방정식의 근의 공식

x=b±b24ac2a
어려워 보이지만, 금방 익힐 수 있을 거예요.
이차방정식의 근의 공식 연습문제

예제

먼저 a, b, c의 값(계수)을 찾아야 합니다. 첫 번째로 식이 위와 같이 ax2+bx+c=0 형태인지 확인해 봅시다:
x2+4x21=0
  • ax2의 계수이므로, a=1입니다. 이때, a0이 될 수 없습니다. x2항이 있어야 이차식이 성립하기 때문입니다..
  • bx의 계수이므로, b=4입니다.
  • c는 상수항 또는 x가 없는 항입니다. 그러므로 c=21입니다.
이제 a, b, c를 공식에 대입해 봅시다:
x=4±1641(21)2
이와 같이 풀면:
x=4±1002=4±102=2±5
그러므로, x=3 또는 x=7입니다.

해는 무엇을 의미하나요?

두 개의 해는 방정식의 x절편, 즉 그래프가 x축과 교차하는 점을 의미합니다. 방정식 x2+3x4=0을 그리면 다음과 같습니다:
이차방정식 그래프 그리기
이차방정식 근의 공식의 해이자 절편인 점은 x=4x=1입니다.
그런데 인수분해와 완전제곱꼴, 그래프를 이용해서 풀 수도 있는데, 왜 공식이 필요할까요?
그것은 첫 번째 예제보다 풀기 어려운 이차방정식이 더 많기 때문입니다.

두 번째 예제

인수분해하기 어려운 방정식을 풀어 봅시다:
3x2+6x=10
먼저 모든 항을 좌변으로 이항해 봅시다:
(3)ax2+(6)bx+(10)c=0
공식을 적용하면 다음과 같습니다:
x=6±62431023=6±361206=6±846
허수를 이용하지 않고서는 음수의 제곱근을 취할 수 없습니다. 그러므로, 이 방정식에는 실수인 해가 없습니다. 이는 y=0인 점이 없다는 것을 의미하며, x축과 교차하지 않는다는 것을 의미합니다. 계산기에 그려서 확인할 수도 있습니다.
계산기에 표시된 이차방정식
이제 이차방정식의 근의 공식의 기초를 배웠습니다.
다음 동영상을 통해 더 많은 예제를 풀어 봅시다.

근의 공식을 이용할 때 알아두어야 할 점

  • 방정식을 올바른 형태인 ax2+bx+c=0으로 나타내도록 주의해야 합니다. 그렇지 않으면 계산할 수 없습니다.
  • (b24ac) 전체에 근호를 씌우고, 2a가 그 전체의 분모가 되어야 합니다.
  • 음수에 주의하세요. b2은 음수가 될 수 없습니다. b가 음수라고 해도 제곱한 수는 양수가 되어야 합니다. 음수이든 양수이든 제곱하면 모두 양수가 되기 때문입니다.
  • 항상 +/ 부호를 붙여야 합니다. 해는 항상 두 개라는 것에 주의하세요.
  • 계산기를 사용한다면, 답은 소숫점 이하의 자릿수에서 특정한 수로 반올림 되어 나올 것입니다. 정확한 값을 구해야 하며 제곱근을 간단하게 만들기 어렵다면, 답에 제곱근을 그대로 쓰세요. 예를 들면, 21022+102과 같이 쓸 수 있습니다.

다음 단계:

칸아카데미 동영상 래퍼
Using the quadratic formula동영상 대본 보기
  • 이차방정식의 근의 공식 증명하기:
칸아카데미 동영상 래퍼
Proof of the quadratic formula동영상 대본 보기