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단원 6: 이차방정식의 근의 공식

이차방정식의 근의 공식 이해하기

이차방정식에서 근의 공식이 어떻게 사용되는지 더 깊이 알아봅시다.

이차방정식의 근의 공식은 이차방정식을 푸는데 도움이 되고 수학에서 다섯 손가락에 드는 유명한 공식입니다. 공식을 외우는 것을 딱히 선호하지는 않지만, 이 공식은 외워두면 유용합니다. (이 공식을 어떻게 유도하는지와 어떻게 쓰는지를 알아야 합니다. 다음 동영상에서 다뤄보도록 하겠습니다!).
아래와 같은 방정식이 주어진다면:

a x^{2} + b x + c = 0

근의 공식을 이용해 이차방정식의 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어

x

의 값을 구해 방정식을 풀 때 말입니다.

이차방정식의 근의 공식

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

어려워 보이지만, 금방 익힐 수 있을 거예요.
이차방정식의 근의 공식 연습문제

예제

먼저 a, b, c의 값(계수)을 찾아야 합니다. 첫 번째로 식이 위와 같이

a x^{2} + b x + c = 0

형태인지 확인해 봅시다:

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍는 $x^{2}$ ‍의 계수이므로, $a = 1$ ‍입니다. 이때, $a$ ‍는 $0$ ‍이 될 수 없습니다. $x^{2}$ ‍항이 있어야 이차식이 성립하기 때문입니다..
$b$ ‍는 $x$ ‍의 계수이므로, $b = 4$ ‍입니다.
$c$ ‍는 상수항 또는 $x$ ‍가 없는 항입니다. 그러므로 $c = - 21$ ‍입니다.

이제

a

b

c

를 공식에 대입해 봅시다:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

이와 같이 풀면:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

그러므로,

x = 3

또는

x = - 7

입니다.

해는 무엇을 의미하나요?

두 개의 해는 방정식의 x절편, 즉 그래프가 x축과 교차하는 점을 의미합니다. 방정식

x^{2} + 3 x - 4 = 0

을 그리면 다음과 같습니다:

이차방정식 근의 공식의 해이자 절편인 점은

x = - 4

와

x = 1

입니다.

그런데 인수분해와 완전제곱꼴, 그래프를 이용해서 풀 수도 있는데, 왜 공식이 필요할까요?

그것은 첫 번째 예제보다 풀기 어려운 이차방정식이 더 많기 때문입니다.

두 번째 예제

인수분해하기 어려운 방정식을 풀어 봅시다:

3 x^{2} + 6 x = - 10

먼저 모든 항을 좌변으로 이항해 봅시다:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

공식을 적용하면 다음과 같습니다:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

허수를 이용하지 않고서는 음수의 제곱근을 취할 수 없습니다. 그러므로, 이 방정식에는 실수인 해가 없습니다. 이는

y = 0

인 점이 없다는 것을 의미하며, x축과 교차하지 않는다는 것을 의미합니다. 계산기에 그려서 확인할 수도 있습니다.

이제 이차방정식의 근의 공식의 기초를 배웠습니다.
다음 동영상을 통해 더 많은 예제를 풀어 봅시다.

근의 공식을 이용할 때 알아두어야 할 점

방정식을 올바른 형태인 $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍으로 나타내도록 주의해야 합니다. 그렇지 않으면 계산할 수 없습니다.
$(b^{2} - 4 a c)$ ‍ 전체에 근호를 씌우고, $2 a$ ‍가 그 전체의 분모가 되어야 합니다.
음수에 주의하세요. $b^{2}$ ‍은 음수가 될 수 없습니다. $b$ ‍가 음수라고 해도 제곱한 수는 양수가 되어야 합니다. 음수이든 양수이든 제곱하면 모두 양수가 되기 때문입니다.
항상 $+ / -$ ‍ 부호를 붙여야 합니다. 해는 항상 두 개라는 것에 주의하세요.
계산기를 사용한다면, 답은 소숫점 이하의 자릿수에서 특정한 수로 반올림 되어 나올 것입니다. 정확한 값을 구해야 하며 제곱근을 간단하게 만들기 어렵다면, 답에 제곱근을 그대로 쓰세요. 예를 들면, $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍와 $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍과 같이 쓸 수 있습니다.

다음 단계:

이차방정식의 근의 공식을 사용하여 연습하기.
예제를 살펴봅시다:

칸아카데미 동영상 래퍼

Using the quadratic formula동영상 대본 보기

이차방정식의 근의 공식 증명하기:

칸아카데미 동영상 래퍼

Proof of the quadratic formula동영상 대본 보기

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