예제: 계수가 음수인 이차방정식의 근의 공식

우리는 이차방정식을 풀게 되었는데요, -3x^2 + 10x - 3 = 0이라는 식이죠 그리고 이 식은 이미 표준형으로 쓰여있습니다 이 식을 푸는 데는 여러 방법이 있지만, 그 중에서도 근의 공식을 사용해서 풀어보려고 합니다 그럼 그냥 다시 써보겟습니다 -3x^2 + 10x - 3 = 0 이라는 식이 있어요 사실 이 식을 근의 공식을 사용해서 이미 두 번 풀었죠 우리가 제대로 된 방법으로만 사용한다면, 근의 공식이 우리에게 이 식의 정확한 근, 또는 정확한 해를 줄 거니까요 그럼 여기있는 이 식에서 a, b, c는 뭘까요? 근의 공식이 어떤거 였는지 기억해 봅시다 사실, 시작하기 좋은 부분이에요 근의 공식은, 만약에 우리가 표준형 이차방정식 ax^2 + bx + c = 0이라는 이차 방정식 표준형이 주어진다면 이것의 근은 x = -b ± 루트 (b^2 - 4ac) ... 를 2a로 나눈것이죠 그리고 이것은 일반적인 방법으로, 식을 완전제곱식으로 바꾸는 데서 유도됐어요 그러니까, 신기한건 아니에요 다른 비디오에서 증명한 적 있죠 하지만 이것은 이차방정식이고, 두 개의 해를 가지고 있죠 왜냐하면 여기 양의 제곱근이 있고 음의 제곱근도 있으니까요 그럼 여기에 적용시켜봅시다 이 경우에는 a는 -3에 해당하고 b는 10에 해당하죠 b는 10에 해당하고 그리고 c는 -3에 해당하죠 c는 -3에 해당해요 그럼 바로 여기서 근의 공식을 적용시켜보면 우리의 해가 x는 -b라는 것이 나와요 b는 10이네요 그러니까 -b는 10이에요 -10 b 제곱의 양의 제곱근 혹은 음의 제곱근 b가 10이니까 b^2은 100, - 4 X a X c가 돼요 그러니까 (-4) X (-3) X (-3) 인거죠 한 번 써볼게요 (- 4) X (-3) X (-3) 이것들이 모두 근호 안에 있어요 그리고 이 모든게 2a로 나누어지죠 2 X a = -6이죠 그러니까 이건 -10 ± 100 // (-3) X (-3) 은 9니까 9 X 4 = 36이죠 여기에 마이너스 표시가 있어요 이모든 것에서 36을 빼고 6으로 나누죠 그러면, 100빼기 36이 64니까 -10 ± 64의 제곱근이 돼요 이 모든걸 -6으로 나누어지죠 64의 는 8이에요 양의 제곱근과 음의 제곱근을 결정하는데 이건 -6분의 -10 ± 8 이죠 그래서 만약 우리가 양의 근을 구하면, x는 -10+8, 즉 -2 를 -6으로 나눈 거라고 할 수 있겠죠 이렇게 양의 근을 구했고 바로 여기 있는 이거에요 그리고 -2 를 -6으로 나누면 3분의 1이되죠 만약 음의 근을 구한다면, -10 빼기 8, 그러면 -10 빼기 8을 해보면 x는 -10 빼기 8이니까 -18이 되고, 이게 -6으로 나누어지겠죠 -6으로 나누어지고 -18을 -6으로 나누면 3이 되죠 그러므로 이 이차방정식의 두 근은 모두 양수에요 3분의 1과 3 제가 보여드리고 싶은건 이걸 조작해도 같은 답이 나오게 될거라는 거에요 몇몇 사람들은 첫 항의 계수가 -3이라는 것이 싫을 수 있죠 아마 3을 선호 할수 있어요 이 -3을 없애려면, 그들은 식의 양변을 -1로 나눌 수 있죠 그리고 그렇게하면 3x^2 - 10x -3 = 0 X -1, 곱해도 0이 되죠 그럼 이 경우에는 a는 3에 해당하고 b는 -10에 해당하고 c는 3에 해당하겠죠 그리고 근의 공식을 적용하면, x는 -b 와 같다는 걸 알게되죠 b는 -10이에요 -(-10) 은 +10이고, ± b의 제곱근은 -10의 제곱, 즉 100 (-4) X a X c a X C = 9,거기에 4를 곱하면 36이죠 (-36) , 그리고 이 모든걸 2Xa 즉, 6으로 나눠요 그러면 10 ± 64의 제곱근 즉 8, 을 6으로 나눈게 되죠 여기 8을 더하면 (10 + 8) 즉 18을 6으로 나눈, x는 3이 되는 걸 알 수 있죠 만약에 음의 근을 구하면 10빼기 8은 2이고, 2를 6으로 나누게 되죠 다시 1/3으로 , 정확히 같은 해가 나오게 되네요