복권 기대수익

아메드가 복권게임을 하고 있습니다 0과 9 사이에서 2개의 숫자를 고르고 영어 알파벳 26개 중 하나를 택해야 합니다 영어 알파벳 26개 중 하나를 택해야 합니다 숫자는 중복해서 선택가능합니다 만약 당첨 번호와 숫자 2개가 순서대로 일치하고 알파벳도 순서대로 일치하면 우승 상금으로 10405달러를 얻습니다 만약 알파벳은 일치하지만 숫자 중에 일치하지 않는 것이 있으면 그는 100달러의 준우승상금을 얻습니다 위 두 가지 경우를 제외한 나머지 경우에는 아무것도 얻지 못합니다 게임을 참가하려면 5달러가 필요합니다 나머지 경우에는, 패배하고 아무것도 얻지 못합니다 아메드는 04R을 선택했습니다 5달러를 냈다고 가정하고 티켓 04R을 택했다고 생각합시다 확률변수 X를 정의합시다 이 확률변수는 게임을 통해 얻는 총소득입니다 그냥 이 변수의 정의를 04R을 택했을 때의 총소득이라고 해도 되겠습니다 문제에 주어진 특정 티켓 말입니다 그냥 X를 이 티켓을 택하여 게임에 참여했을 때의 총소득이라고 합시다 이번 수업에서 생각해보고 싶은 점은 해당 경우의 기댓값이 얼마인지입니다 04R을 택했을 때 기대되는 총소득은 얼마일까요? 잠시 비디오를 멈추고 혼자 생각하는 시간을 갖길 바랍니다 기댓값이 무엇인지 생각해봅시다 기댓값이란 각 경우의 확률에 그 경우의 총소득을 곱한 값의 합입니다 우승 상금을 받을 확률을 생각해봅시다 빨간색으로 적어 보겠습니다 우승 상금을 받을 확률을 생각해보고 그 경우 그의 총소득을 생각해봅시다 얼마일까요? 그는 10405달러를 얻을테지만 그것은 총소득이 아닙니다 그는 10405달러를 얻을테지만 그것은 총소득이 아닙니다 총소득은 그가 얻는 것에 그가 지불한 비용을 뺀 것입니다 그는 5달러를 냈습니다 이 식은 됐고, 여기에다 준우승 상금을 얻을 확률 즉 100달러를 얻을 확률과 이 경우 총소득을 곱한 것을 더합시다 100달러를 얻지만 5달러를 냈습니다 이제 마지막으로 두 경우 모두에 해당되지 않는 경우를 고려합니다 아무것도 얻는 것이 없을 때 총소득은 얼마가 될까요? 이 경우 총소득은 -5달러가 될 것입니다 5달러를 지불했지만 아무것도 얻지 못했기 때문입니다 이제 기댓값을 구하기 위해서는 각각의 확률을 알아내기만 하면 됩니다 우승 상금을 받을 확률을 얼마 입니까? 여기에 해보겠습니다 처음 숫자를 맞출 확률은 10개 숫자 중 하나이므로 1/10입니다 마찬가지로 두 번째 숫자를 맞출 확률도 1/10이고, 이들은 서로 독립입니다 그가 문자를 맞출 확률은 26개의 동등한 문자 중에서 일치하는 것은 하나이므로 1/26입니다 따라서 대상을 받을 확률은 1/2600입니다 1/2600 그러면 준우승 상금을 얻을 확률은 얼마일까요? 아메드는 1/26의 확률로 문자를 맞춥니다 작은 상금은 문자는 맞추고 두 숫자를 모두 맞추지는 못했을 때 주어집니다 문자를 맞출 확률 1/26이 있지만 이것이 다가 아닙니다 왜냐하면 1/26이라는 확률은 문자를 맞추는 경우 중에서 문자 뿐만이 아니라 두 숫자도 모두 맞추어서 대상을 받을 확률도 포함하고 있기 때문입니다 따라서 두 숫자를 맞추는 경우를 제외해야 합니다 두 숫자와 문자 모두를 맞추는 경우를 말입니다 그리고 우리는 그것이 얼마인지 알고 있습니다 1/2600입니다 따라서 1/26 - 1/2600이 확률이 됩니다 이 값을 빼야 하는 이유는 1/26이라는 확률에는 모든 것을 맞추는 경우가 포함되어 있는데 준우승 상금을 얻기 위해서는 문자만을 맞추고 숫자는 맞추지 못해야 하기 때문입니다 숫자를 모두 맞추는 경우는 우승 상금을 받는 경우입니다 따라서 모든 경우를 생각해 우승 상금을 받을 확률을 빼주어야 준우승 상금을 얻을 확률을 알아낼 수 있습니다 그러면 손해를 볼 확률은 얼마일까요? 앞선 두 경우에 모두 해당되지 않는 경우 말입니다 이것은 그저 나머지입니다 이는 1에서 앞에서 구한 확률을 모두 뺀 것입니다 1에서 준우승 상금을 받을 확률 준우승 상금을 받을 확률 그리고 결승 상금을 받을 확률을 뺀 확률입니다 이 확률들은 모두 가능한 확률이므로 모두 더하면 1이나 100%가 되어야 합니다 따라서 이 확률은 1에서 준우승 상금을 얻을 확률과 결승 상금을 얻을 확률을 뺀 값입니다 준우승 상금을 얻을 확률과 결승 상금을 얻을 확률을 뺀 값입니다 이 식에 채워봅시다 여기의 준우승 상금을 얻을 확률은 여기의 준우승 상금을 얻을 확률은 1/26에서 1/2600을 뺀 값입니다 1/26에서 1/2600을 뺀 값입니다 그리고 이 부분의 확률은 1에서 (1/26 - 1/2600)과 1/2600을 뺀 값입니다 이 확률을 간략화 해보면 1 - 1/26 + 1/2600 - 1/2600입니다 1 - 1/26 + 1/2600 - 1/2600입니다 이 부분이 상쇄되어 1 - 1/26만이 남습니다 이것이 어떻게 가능할까요? 아무것도 얻지 못하는 경우는 단어를 틀리는 경우입니다 1/26의 확률로 단어를 맞추면 앞선 두 상황에 모두 포함됩니다 그렇지 않은 경우는 1 - 1/26 즉 25/26의 확률에 해당됩니다 즉 25/26의 확률로 문자를 맞추지 못한다는 것입니다 이 경우 아무것도 얻지 못하고 지게 됩니다 이제 계산기를 꺼내서 계산하고 답은 소수 셋째 자리에서 반올림하여 나타내 보겠습니다 1/2600을 계산하자면 1을 2600으로 나눕시다 그리고 10405에서 5를 뺸값은10400이니 대상을 받았을 때의 총소득 10400을 여기에 곱해줍시다 그리고 여기에 (1/26 - 1/2600)와 그리고 여기에 (1/26 - 1/2600)와 준결승 상금을 받았을 때의 총소득을 곱한 값을 더합시다 준결승 총소득은 100에서 5를 빼서 95입니다 그리고 마지막으로 25/26에 식이 제대로 계산되도록 괄호를 추가하겠습니다 아무 것도 얻지 못한 경우의 총소득을 곱합시다 아무것도 얻지 못하는 경우 5달러를 내므로 -5가 총소득입니다 계산기가 이렇게 적은 식을 이해할 수 있을지는 모르겠군요 답을 구할 차례입니다 이 경우 게임의 기댓값은 달러로 표현했을 때 약 2.81달러가 됩니다 이 식의 값은 2.81달러입니다 이 게임은 사실 플레이어 입장에서 양의 기댓값이 있는 독특한 복권게임입니다 주로 복권사업을 하는 목적은 그것이 주든, 카지노든 그들이 소득을 얻을 것을 예상하고 플레이어들이 손해를 보도록 하니깐요 하지만 이 게임은 다른 복권 게임과 달리 2.81달러의 총소득이 예상되니 충분히 해볼만하겠군요