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동영상 대본

당신과 친구 제레미는 송어 10마리와 개복치 10마리가 있는 연못에서 낚시를 하고 매번 물고기를 잡을 때마다 다시 놔주기로 했습니다 이 때 제레미는 내기 두 가지를 했는데 첫 번째 내기를 하는건 좋지 않지만 제레미는 하고 싶어하는 거 같군요 만약 다음에 잡는 물고기 3마리가 모두 개복치라면 100달러를 주고 그렇지 않으면 20달러를 받습니다 두 번째 당신이 잡는 물고기 3마리 중 두 마리 이상이 개복치라면 50달러를 받고 그렇지 않으면 25달러를 줍니다 첫 번째 내기에서의 기댓값은 얼마일까요? 답은 소수 셋째 자리에서 반올림하여 나타내세요 잠시 동영상을 중지하시고 한번 생각해 보세요 첫 번째 내기의 기댓값은 첫 번째 내기의 기댓값은 여기서 임의 변수를 정의해봅시다 여기서 임의 변수를 정의해봅시다 X는 재레미한테 주는 돈이아닌 첫 번째 내기로부터 얻은 이익을 X로 정의하겠습니다 첫 번째 내기로부터 얻은 이익을 X로 정의하겠습니다 임의의 값입니다 X의 기댓값은 확률은 -100달러 곱하기 물고기 세 마리를 잡을 확률입니다 -100 달러와 개복치 세 마리를 잡는 확률을 곱하면 -100 달러와 개복치 세 마리를 잡는 확률을 곱하면 -100 달러와 개복치 세 마리를 잡는 확률을 곱하면 어차피 지불할 돈이니까 돈을 내고 있는 입장이므로 -100이라고 값을 매기도록 하겠습니다 기댓값은 얻을 수 있는 이익이기 때문에 여기서는 돈을 잃기 때문입니다 다른 경우는 1에서 재레미가 개복치 3마리를 잡을 확률을 뺀 값입니다 이 경우에는 20달러를 받고 이 경우에는 20 달러를 받습니다 이제 중요한 점은 제레미가 개복치 세 마리를 잡을 확률을 구하는 것입니다 개복치는 20마리 중 10마리가 있기 때문에 10/20의 확률로 잡을 수 있습니다 아니면 1/2 확률이라고도 할 수 있습니다 아니면 1/2 확률이라고도 할 수 있습니다 개복치를 3마리를 연속으로 잡을 확률은 1/2 곱하기 1/2 곱하기 1/2와 같습니다 잡은 후 물고기를 다시 놓아주기 때문에 확률이 10분의 20으로 유지 됩니다 만약 다시 안 놓아주면 두 번째로 잡을 때에는 9/20이 됩니다 두 번째로 잡을 때에는 9/20이 됩니다 이 경우에는 잡은 물고기를 다시 놔주기 때문에 이 경우에는 잡은 물고기를 다시 놔주기 때문에 개복치를 3마리 연속으로 잡을 확률은 1/8이라고 할 수 있습니다 1에서 1/8을 빼면 7/8이 나옵니다 100달러를 줄 확률은 1/8이고 20달러를 받을 확률은 7/8입니다 20달러를 받을 확률은 7/8입니다 얻을 수 있는 기대 이익은 1/8의 확률로 100달러를 주기 때문에 1/8과 -100을 곱합니다 그렇지만 7/8 확률로 괄호를 씌워 계산을 하겠습니다 계산기가 알아서 해줄 수 있었겠지만 계산기가 알아서 해줄 수 있었겠지만 보기 쉽게 하기 위해 이렇게 하겠습니다 7/8확률로 20 달러를 받으니 7/8확률로 20 달러를 받으니 총 5달러의 이익을 예상할 수 있습니다 총 5달러의 이익을 예상할 수 있습니다 이 값이 첫 번째 내기에서의 기댓값입니다 이제 두 번째 내기로 넘어가면 만약 잡은 물고기 3마리 중 2마리가 개복치라면 재레미는 50달러를 받고 아니면 25달러를 줍니다 세 마리의 물고기 중 두 마리가 개복치일 확률 보겠습니다 세 마리의 물고기 중 두 마리가 개복치일 확률 보겠습니다 다양한 방법으로 생각 할 수 있지만 물고기를 잡는 횟수는 3번이고 개복치를 잡을 확률은 1/2입니다 나올 수 있는 경우의 수를 적어보죠 개복치, 개복치, 개복치가 나올 수 있고 또 어떤 종류의 물고기가 있나요? 개복치, 개복치, 송어 개복치, 송어, 개복치 개복치, 송어, 송어 송어, 개복치, 개복치 송어, 개복치 ,송어 송어, 송어, 개복치 혹은 모두 송어 일 수도 있습니다 한번 한번 마다 2가지 경우의 수가 있습니다 한번 한번 마다 2가지 경우의 수가 있습니다 2가지의 경우의 수를 3번 시도하는 거니까 1,2,3,4,5,6,7,8가지의 경우의 수가 나오는 겁니다 1,2,3,4,5,6,7,8가지의 경우의 수가 나오는 겁니다 이 여덟 가지의 동일한 확률 중 개복치 두 마리를 잡을 경우는 몇 가지가 있을까요? 개복치 두 마리를 잡는 경우는 이 경우, 이 경우 이 경우, 이 경우가 다 입니다 예, 이 경우는 개복치 한마리고, 이 경우도 마찬가지고, 마찬가지고, 이 경우는 개복치가 없습니다 모든 8가지의 동일한 경우 중 적어도 개복치 2마리를 잡는 경우는 최소 개복치 2마리를 잡을 확률은 4/8 또는 1/2입니다 그렇다면 기댓값은 얼마일까요? 변수 Y를 예상 이익이라고 정의하고 임의의 변수 Y를 두 번째 내기의 예상 이익이라고 정의합니다 임의의 변수 Y의 기댓값은 돈을 받을 확률이 1/2이므로 50달러를 받을 확률이 1/2이고 나머지 돈을 줄 확률은 1/2입니다 이길 확률이 1/2라면 1 - 1/2의 값을 구해서 1/2 확률로 진다는 것을 알 수 있습니다 1/2 확률로 25달러를 받습니다 계산을 해 보면 1/2 곱하기 50 + 1/2 곱하기 -25입니다 이 값은 25 - 12.5이므로 12.5입니다 두 번째 내기의 기댓값은 12.50입니다 친구는 두 내기를 섞어가며 50번 하고싶어 합니다 친구는 두 내기를 섞어가며 50번 하고싶어 합니다 이익을 극대화하려면 어떻게 해야 할까요? 둘 다 하기 좋은 내기지만 당신의 친구는 그다지 체계적인것 같지 않지만 두 번째 내기가 수익이 더 많겠죠 그래서 저는 50번 모두 두 번째 내기를 하겠습니다 그래서 저는 50번 모두 두 번째 내기를 하겠습니다