기댓값으로부터 자료 얻기

제이미의 아빠는 딸에게 주사위를 선물했습니다 제이미는 주사위에서 나오는 면의 확률이 같은지 실험하기 위해 학교에서 가져가 500번을 던지고 각 숫자마다 몇 번씩 나오는지 기록했습니다 제이미가 20번을 던졌을 때 나온 숫자의 합의 기댓값이 제이미가 20번을 던졌을 때 나온 숫자의 합의 기댓값이 64.7임을 알았습니다 하교길에 비가 내렸고 2개의 값이 결과 기록에서 지워져 벼렸습니다 제이미의 결과 기록에서 없어진 두 곳을 써넣어 보세요 여기서 보이듯이 제이미는 주사위를 500번 던졌고 2가 몇 번 나왔는지 기록하였습니다 2는 100번 3은 95번, 4는 70번 5는 75번 나왔습니다 1과 6이 몇 번 나왔는지 표시하였지만 그 값이 지워졌습니다 그래서 1과 6이 얼마나 많이 나왔는지 주어진 결과 기록의 정보와 20번 던졌을 때 기댓값의 합이 67.4라는 정보로부터 알아내야 합니다 이 영상을 멈추고 제가 문제를 풀기 전에 한번 생각해보세요 우선 주사위를 20번 던졌을 때 합의 기댓값이 67.4라는 것이 무엇을 의미하는지 생각해 봅시다 이는 한번 던졌을 때의 기댓값과 20번 던졌을 때 합의 기댓값은 20배나 차이가 남을 의미합니다 주사위를 한 번 던졌을 때의 기댓값을 여기서 계산해 보겠습니다 주사위를 한 번 던졌을 때의 기대값은 결국 67.4를 20으로 나눈 값과 같을 것입니다 계산기로 계산해봅시다 계산기로 계산해봅시다 67.4 나누기 20은 3.37입니다 즉 기댓값은 3.37입니다 이게 어떻게 도움이 될까요? 우리는 결과 기록의 값으로부터 기댓값을 계산하는 방법을 알고 있습니다 여기 있는 수의 값을 A라고 합시다 여기 있는 수를 B라고 합시다 만약 기댓값을 계산하려고 하고 있었다면 우리에게 진짜 필요한 것은 이 변량들의 상대도수입니다 상대도수입니다 예를 들어서 우리가 1을 500번 중 A번 얻었다면 기댓값은 (A/500 × 1) + (110/500 × 2) 기댓값은 (A/500 × 1) + (110/500 × 2) 기댓값은 (A/500 × 1) + (110/500 × 2) 기댓값은 (A/500 × 1) + (110/500 × 2) 기댓값은 (A/500 × 1) + (110/500 × 2) 주의하세요 이 도수는 2가 나왔을 때의 도수입니다 우리는 이 값들의 합계를 구하고 있는 겁니다 이어서 + (95/500 ×3) 이어서 + (95/500 ×3) 이어서 + (95/500 ×3) 이제 여러분도 제가 뭘 하고 있는지 알 겁니다 계속 해보죠 + (70/500 ×4) 계속 해보죠 + (70/500 ×4) 거의 다 왔습니다 + (75/500 ×5) + (75/500 ×5) 여기에다가 할게요 + (75/500 ×5) 마지막으로 + (B/500 ×6) 마지막으로 + (B/500 ×6) 이 식은 우리에게 3.37이라는 기댓값을 가져다 줄 것입니다 즉 이 식은 3.37과 같습니다 우리가 할 수 있는 것은 500이 양 변의 분모에 있으니 500이 양 변의 분모에 있으니 식의 양변에 500을 곱해봅시다 곱하고 나면 좌변은 500 × A/500은 결국 A이므로 A + 110 × 2 500 × A/500은 결국 A이므로 A + 110 × 2 220가 되겠지요 + (95 × 3) 즉 285를 더하는 것과 똑같습니다 즉 285를 더하는 것과 똑같습니다 그 다음 70 × 4는 280이니까 +280 75 × 5는 350 + 25 이니까 + 375 + 375 + 6B 생략한 단계가 없는지 확인합시다 결국 6B는 기댓값의 500배가 될 것이고 이는 3.37 곱하기 500입니다 이는 1685입니다 1685입니다 여기에서 한 계산 단계들은 한 번 주사위를 던졌을 때의 기댓값이 3.37임을 이용하여 관계식을 얻어내고 식의 양 변에 500을 곱한 것입니다 여기에 500을 곱했고 여기에도 500을 곱했습니다 공교롭게도 500은 이 모든 분모들을 지워주고 500 × 3.37은 1685입니다 보시다시피요 이제 우리는 1, 2, 3, 4, 5, 6개를 얻었습니다 예, 알맞게 한 것 같습니다 숫자의 개수가 맞습니다 이상한 실수는 하지 않아야 하겠죠 이 식을 더 간단하게 하기 위해 220, 285, 280 ,375를 양 변에서 빼 봅시다 이 계산을 하면 좌변에 모든 수가 지워져 A 더하기 6B가 나옵니다 A 더하기 6B 그리고 우변에서는 얼마가 나올까요? 계산기를 꺼내 봅시다 1685 - 220 220 - 285 - 280 - 375는 525입니다 A + 6B = 525입니다 여기까지 잘 해냈습니다 하지만 아직 식 하나와 미지수 2개가 남아있습니다 어떻게 A와 B를 알아낼까요? 다른 유용한 정보가 있습니다 다른 유용한 정보가 있습니다 결과 기록의 오른쪽 숫자들의 합 A + 110 + 95 + 70 + 75 + B는 500입니다 아니면 여기에 적어봅시다 A + 110 + 95 +70 + 75 + B은 500이라는 것을 알고 있습니다 이제 이 숫자들을 양변에서 빼 줄 텐데요 좌변에서 이 숫자들을 빼면 A + B 만 남게 되겠죠 A + B 그리고 우변은 500에서 시작했으니 500 - 110 - 95 - 70 - 75는 150이 나옵니다 따라서 A + B는 150입니다 이제 식 두 개와 미지수 두 개가 있으니 미지수를 구할 수 있습니다 치환을 이용합시다 아니면 두번째 식에서 첫 번째 식을 빼도 됩니다 한번 해봅시다 이 식의 좌변에서 저 식의 좌변을 빼봅시다 아니면 이 식에다 -1을 곱해준 다음 두 등식을 더해도 됩니다 A는 소거될 것이고 이제 남은 것은 6B - B 즉 5B = 375입니다 즉 5B = 375입니다 제가 계산을 올바르게 했나요? 만약 여기에 125를 더한다면 500이 나오고 25를 더 더하면 525가 될 것입니다 따라서 5B는 375입니다 양변을 5로 나누면 B가 75임을 알 수 있습니다 B는 75입니다 즉 이 수가 75입니다 B가 75라면 A는 얼마일까요? A+B가 150이라는 것을 압니다 조금 전에 양변에 -1을 곱하기 전에 알아낸 사실입니다 곱하기 전에 알아낸 사실입니다 A + B를 알고 B가 75이니까 A + 75 는 150입니다 그리고 여기에서 양변을 음수로 변환하기 전에 A + B가 150임을 찾아냈으니까 양변에 75를 빼 주면 A가 75임을 알 수 있습니다 끝났습니다