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크기와 방향을 이용한 벡터의 성분

동영상 대본

여기 두 개의 예제가 있습니다 벡터의 크기와 방향이 주어져 있고 방향은 벡터가 양의 x축과 만드는 각도로 주어졌습니다 방향은 벡터가 양의 x축과 만드는 각도로 주어졌습니다 여기서 할 것은 이 크기와 각도, 방향을 가지고 벡터의 x, y 성분을 찾는 것입니다 벡터의 x, y 성분을 찾는 것입니다 항상 그렇듯 동영상을 멈추고 스스로 한 번 풀어보세요 좋습니다 이제 같이 해보죠 삼각법을 조금만만 이용하면 가능합니다 삼각법을 조금만만 이용하면 가능합니다 이 벡터를 가로와 세로 성분 그러니까 x와 y 성분으로 분해해야 합니다 가로 성분은 이렇게 그릴 수 있습니다 가로 성분은 이렇게 그릴 수 있습니다 가로 성분은 이렇게 그릴 수 있습니다 가로 성분은 이렇게 그릴 수 있습니다 다시 그리죠 더 잘 할 수 있습니다 이렇게 생겼습니다 이게 가로 성분 또는 x 성분입니다 그리고 세로 성분은 이렇게 생겼습니다 이렇게 생겼습니다 이게 세로 성분이고 가로 성분과 세로 성분을 더하면 가로 성분과 세로 성분을 더하면 기존의 벡터를 얻음을 기억하세요 이렇게 직각삼각형이 생겼는데 이런 종류의 직각삼각형에는 정말 기본인 삼각법 공식을 사용할 수 있습니다 정말 기본인 삼각법 공식을 사용할 수 있습니다 바로 삼각함수의 정의인 Soh-Cah-Toa입니다 바로 삼각함수의 정의인 Soh-Cah-Toa입니다 나중에 단위원의 정의로 분해할 수도 있겠지만 나중에 단위원의 정의로 분해할 수도 있겠지만 이 밑의 크기를 구하고 싶다면 이 50° 각도의 인접변임을 알 수 있습니다 이 50° 각도의 인접변임을 알 수 있습니다 빗변은 아니고 각도를 구성하는 반대쪽입니다 인접변과 빗변을 다루는 삼각 함수는 무엇일까요? 인접변과 빗변을 다루는 삼각 함수는 무엇일까요? 여기 기억을 돕도록 적어봅시다 Soh-Cah-Toa라고요 cos이 인접변과 빗변을 다룹니다 이 x를 x 성분의 길이라고 한다면 이 x를 x 성분의 길이라고 한다면 cos 50°은 cos 50°은 인접변 x의 길이를 빗변의 길이로 나눈 것과 같다고 할 수 있습니다 빗변의 길이는 벡터의 크기인 4이고요 빗변의 길이는 벡터의 크기인 4이고요 따라서 x를 구하려고 한다면 양변을 4로 곱하기만 하면 됩니다 따라서 4 cos 50° = x입니다 따라서 4 cos 50° = x입니다 따라서 4 cos 50° = x입니다 따라서 4 cos 50° = x입니다 그러면 y 성분은 어떨까요? y 성분은 무엇일까요? 이 변은 50° 각도를 기준으로 대변입니다 50° 각도를 기준으로 높이입니다 어떤 삼각 함수가 대변과 빗변을 다룰까요? sin 함수입니다 sin 50°는 y를 빗변의 길이로 나눈 것과 같습니다 y/4이죠 따라서 양변에 4를 곱하면 4sin 50° = y입니다 4sin 50° = y입니다 4sin 50° = y입니다 만약 계산기가 없는데 이 벡터를 성분 형식으로 나타내면 이 벡터를 성분 형식으로 나타내면 이 벡터를 성분 형식으로 나타내면 x 성분은 4cos 50° y 성분은 4sin 50°입니다 여기 재미있는 점이 있습니다 양의 x축에 대한 각에 대해서는 각도의 cos이 있습니다 양의 x축에 대한 각에 대해서는 각도의 cos이 있습니다 x좌표에 그렇게 되어 있죠 y좌표에는 sin이 있습니다 그리고 단순히 벡터의 크기를 곱해주었죠 그리고 단순히 벡터의 크기를 곱해주었죠 항상 그럴 수 있을까요? 사실 그렇습니다 이는 삼각 함수의 단위원 정의에 따라 그렇습니다 그리고 단순히 벡터의 크기를 곱해주었죠 삼각함수의 단위원 정의에서 cos은 이런 단위원에서 cos은 이런 단위원에서 단위원은 반지름이 1입니다 cos은 단위원과의 교차점의 x좌표입니다 cos은 단위원과의 교차점의 x좌표입니다 sin은 y좌표이고요 만약 벡터의 크기가 1이라면 x 성분은 그 각도의 cos값입니다 x 성분은 그 각도의 cos값입니다 그 뱡향의 단위벡터였다면 말이죠 그리고 sin은 y 성분이 됩니다 이 문제의 벡터는 단위벡터가 아니라 크기가 4입니다 단위벡터보다 네 배 더 크죠 따라서 각 성분도 네 배 더 큽니다 그래서 x 성분을 구하는 데 cos 50°을 4로 곱하고 그래서 x 성분을 구하는 데 cos 50°을 4로 곱하고 y 성분을 구하는 데 sin 50°을 4로 곱한 것입니다 y 성분을 구하는 데 sin 50°을 4로 곱한 것입니다 이 사실은 이걸 풀 때도 도움이 될 것입니다 이 사실은 이걸 풀 때도 도움이 될 것입니다 여기서 계산기를 꺼내 이것의 값을 어림해 볼 수도 있습니다 그럼 꺼내보죠 계산기가 여기 있네요 Deg 모드에 있는지 확인하고 50°의 cos 값을 구해 50°의 cos 값을 구해 4로 곱합니다 4를 곱하면 약 2.57이네요 따라서 x 성분은 약 2.57입니다 그리고 y 성분은 50°의 sin 값을 구하고 50°의 sin 값을 구하고 4로 곱하면 약 3.06입니다 여기서도 확인할 수 있습니다 x 성분은 2 1/2보다 약간 길어보이고 x 성분은 2 1/2보다 약간 길어보이고 y 성분은 3보다 약간 길어보이죠 y 성분은 3보다 약간 길어보이죠 손으로 잘 못그린 그래프인대도 잘 맞았습니다 손으로 잘 못그린 그래프인대도 잘 맞았습니다 좋습니다 그러면 이것을 해 봅시다 흥미롭네요 표준형으로 그렸을 때 종점이 제2사분면에 있습니다 표준형으로 그렸을 때 종점이 제2사분면에 있습니다 그러면 여기서 x와 y 성분은 무엇일까요? 곧바로 알아차릴 수 있는 건 벡터가 제2사분면에 있기 때문에 x 성분은 음수가 되고 y 성분은 양수가 된다는 점입니다 y 성분은 양수가 된다는 점입니다 여기서 했던 것과 똑같이 할 수도 있습니다 여기서 했던 것과 똑같이 할 수도 있습니다 이 벡터에서 x 성분은 크기에 x 성분은 크기에 벡터와 양의 x축이 만드는 각도의 cos 값을 곱한 것입니다 벡터와 양의 x축이 만드는 각도의 cos 값을 곱한 것입니다 cos 135°이죠 그리고 y 성분은 벡터와 양의 x축이 만드는 각도의 sin 값을 곱한 것입니다 벡터와 양의 x축이 만드는 각도의 sin 값을 곱한 것입니다 그러면 끝납니다 이것들을 각각 계산해보면 다시 계산기를 꺼내고요 135°의 cos 값을 구하고 135°의 cos 값을 구하고 10을 곱하면 약 -7.07이 나옵니다 약 -7.07이 나옵니다 약 -7.07이 나옵니다 sin 값을 구하면 굉장히 비슷한 것을 얻게 됩니다 135°의 sin 값을 구하면 0.707이 나옵니다 크기인 10을 곱해주면 크기인 10을 곱해주면 7.07입니다 7.07입니다 여기서도 확인할 수 있습니다 이건 7보다 약간 더 많아 보이고 이 방향도 7보다 약간 더 많아 보입니다 이 방향도 7보다 약간 더 많아 보입니다 다 한 것이지만 이게 어떻게 된건지 묻고 있다면 여기 단위원을 생각해 보세요 여기 단위원을 생각해 보세요 그리고 단위벡터가 있다면 그 종점은 단위원 위에 있습니다 방향은 똑같이 135°겠죠 방향은 똑같이 135°겠죠 여기 바로 이 점입니다 점의 좌표는 (cos 135°, sin 135°)입니다 점의 좌표는 (cos 135°, sin 135°)입니다 점의 좌표는 (cos 135°, sin 135°)입니다 더 잘 보이게 그려볼게요 더 잘 보이게 그려볼게요 점의 좌표는 (cos 135°, sin 135°)입니다 점의 좌표는 (cos 135°, sin 135°)입니다 또한 이 방향의 단위벡터는 또한 이 방향의 단위벡터는 x 성분이 cos 135°이고 y 성분은 sin 135°입니다 여기서 다루던 벡터의 크기는 같은 방향의 단위벡터보다 10배 더 큽니다 같은 방향의 단위벡터보다 10배 더 큽니다 따라서 x 성분의 크기는 10배 더 크고 따라서 x 성분의 크기는 10배 더 크고 y 성분도 그렇습니다 Soh-Cah-Toa를 사용해 이를 풀 수도 있습니다 Soh-Cah-Toa를 사용해 이를 풀 수도 있습니다 직각삼각형을 그려볼 수 있습니다 이것이 x 성분이라 하고 이것이 x 성분이라 하고 이것이 x 성분입니다 이렇게 되고 그리고 y 성분은 이렇게 됩니다 약간 부정확하게 그렸네요 더 잘 그려볼게요 y 성분은 이렇게 생겼습니다 직각삼각형이 이루어지고 이 밑부분의 크기를 구하려면 이 밑부분의 크기를 구하려면 이것이 135°라는 것을 알고 이 각은 그 보각이니까 45°입니다 그러면 어떤 삼각 함수가 인접변과 빗변을 다룰까요? cos입니다 따라서 cos 45°는 이 길이를 이 길이를 x라고 해 보겠습니다 이 길이를 x라고 해 보겠습니다 길이 x를 빗변인 10으로 나눈 것과 같습니다 길이 x를 빗변인 10으로 나눈 것과 같습니다 양변에 10을 곱하면 10cos 45° = x입니다 10cos 45° = x입니다 그리고 cos 45°는 √2/2입니다 따라서 x는 5√2/2입니다 이게 음수여야 한다고 생각할 수도 있습니다 이게 음수여야 한다고 생각할 수도 있습니다 방금 직각삼각형을 이용해 푼 방법으로는 이게 음수여야 한다고 생각할 수도 있습니다 이 변의 크기만 구한 것입니다 그러면 생각해보면서 5√2/2만큼 오른쪽으로 가는 것이 아니라 5√2/2만큼 왼쪽으로 가는 것이고 x 방향의 크기 아 크기가 아니라 x 성분이 -5√2/2라는 것을 이해해야 합니다 -5√2/2라는 것을 이해해야 합니다 그리고 같은 논리로서 그리고 같은 논리로서 10sin 45°는 y 성분의 크기라고 할 수 있습니다 그리고 그것은 바로 y 성분이 맞고요 똑같이 해서 이것은 10sin 45°이고 5√2/2입니다 계산기를 꺼내보면 이 값들과 비슷한 값이 나올 것입니다 이 값들과 비슷한 값이 나올 것입니다