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주요 내용

쌍곡선의 꼭짓점과 방향

쌍곡선의 중심, 방향, 꼭짓점으로 그래프 y²/9-x²/4=1을 찾아봅시다.

동영상 대본

[문제]: '다음 중 어떤 그래프가 식 y²/9 - x²/4 = 1의 그래프인지 고르시오' 식 y²/9 - x²/4 = 1의 그래프인지 고르시오' 여기 4개의 보기가 있습니다 보기 A와 C는 위아래로 그래프가 열려 있습니다 보기 A와 C는 위아래로 그래프가 열려 있습니다 보기 B와 D는 볼 수 있듯이 좌우로 열려 있는 그래프입니다 그리고 여러분은 좌우로 열려 있거나 위아래로 열려 있는 그래프들마다 꼭짓점이 다르다는 것을 보실 수 있습니다 그래서 저는 여러분께 어떤 그래프가 쌍곡선 식을 그린 그래프인지 영상을 직점 멈취보시고 한 번 찾아보시기를 권유하겠습니다 한 번 찾아보시기를 권유하겠습니다 좋습니다, 그래서 이 문제에 생각할 건 아주 많습니다 여러분은 아마도 쌍곡선의 중심점에 대해 고민해볼 것입니다 쌍곡선 식에서는 y² 와 x²앞에 계수가 없으므로 중점의 좌표는 (0, 0)일 것입니다 만약 중심이 다른 곳에 있었다면, 중점의 좌표가 (h, k)라면 식이 y² - (중점 좌표의 y부분)일 것입니다-- 식이 y² - (중점 좌표의 y부분)일 것입니다-- 죄송합니다, y²이 아니라 (y-k)일 것입니다 그래서 (y-k) ÷ 9 - (x-x좌표) ÷ 4 =1입니다 그래서 (y-k) ÷ 9 - (x-x좌표) ÷ 4 =1입니다 그래서 (y-k) ÷ 9 - (x-x좌표) ÷ 4 =1입니다 그리고 이 상황에서 k와 h 모두 0이 되는 것입니다 그래서 여러분은 (y-0)²와 (x-0)²로 이 식을 알아볼 것입니다 그래서 중점의 좌표는 (0, 0)이 될 것이고 이 점은 모든 보기가 같습니다 여러분이 이제 생각하실 다음 질문은 곡선이 좌우로 뻗어나가는지 위아래로 뻗어나가는지입니다 여기서 해결하는데 필요한 것은 아무 용어나 살펴본 다음 이것처럼 표준형으로 쓰여 있다면, 그 식은 (y-k)²/(x-h)² = 1일 것입니다 그 식은 (y-k)²/(x-h)² = 1일 것입니다 그 식은 (y-k)²/(x-h)² = 1일 것입니다 아지면 반대로 될 수도 있습니다 우리가 쌍곡선을 다룰 때 x는 양수가 될 수 있고 y는 음수가 될 수 있습니다 그래서 요점은 최소한 한 좌표는 양수라는 것입니다 이는 여러분에게 쌍곡선의 방향을 알려줄 것입니다 y가 여기 있고 양수인 것으로 보아 쌍곡선이 위아래로 열릴 거라는 것을 보여줍니다 이제 여러분은 그저 외우면 됩니다 하지만 이건 저에게 충분하지 않습니다 저는 언제나 이렇게 되는 이유가 알고 싶습니다 그리고 이를 이해하는 요점은, 만약 y좌표가 양수이면 여러분은 다른 좌표를 0으로 설정할 수 있습니다 그리고 이 부분에서 다른 좌표를 0으로 설정한다는 것은 x가 중심의 x좌표와 같다고 하는 것이고 이건 0입니다, 그래서 만약 x이 x²의 중심이라면 이건 0이 됩니다, 여러분은 문제를 풀었습니다 이제 y²/9는 1이 됩니다 만약 x가 0이라면, x는 중점과 같은 좌표 값을 얻게 되고 이 숫자는 0이 되므로 y²/9는 1이 됩니다 이 숫자는 0이 되므로 y²/9는 1이 됩니다 아니면 y²가 9라고 할수 있습니다 따라서 y는 ±3이 됩니다 그래서 이제 우리는 좌표 x좌표가 (0, ±3)가 될 것이고 이 점이 쌍곡선에 있다는 것입니다 즉 쌍곡선이 위아래로 열릴 것이고 여러분은 x좌표의 꼭짓점이 ±3인 쌍곡선을 찾으면 됩니다 이 곳을 주목하십시오 이 쌍곡선에서는 ±3이 포함되지 않았습니다 사실, 이 점이 포함되어 있다면 이 곡선이 좌우로 열려 있지도 않았을 것입니다 그리고 이것이 한개라도 좌표값이 양수라면 곡선이 위아래로 열리거나 만약 x좌표가 양수였다면 같은 이유로 좌우로 곡선이 열릴 것입니다 그리고 볼 수 있듯이 만약 우리가 다른 방법으로 한다면 y와 y좌표값을 중심으로 가지고 있다면 그래서 이 부분에서 만약 y좌표가 0이라면 이 식은 -x²/4 = 1이라는 식이 됩니다 이 식은 -x²/4 = 1이라는 식이 됩니다 이 식은 즉 x²/4 = -1과 같고, 이 식은 즉 x²/4 = -1과 같고, x²이 -4와 같다는 소리입니다 저는 이 식에서 양변에 -1을 곱했고 4밖에 곱하지 않았으니 이 식은 해가 없습니다 그래서 이 때문에 우리는 선과 교차할 수 없다는 것을 알게 되었습니다 우리는 y가 y좌표 중심에 있는 상황을 만들 수는 없을 것입니다 그래서, y는 0이 될수 없습니다 이 조건에 의하면 보기 B와 D가 y를 0에 포함시켰습니다 여기서 기억해야 할 것은 한 개라도 점이 양수이면, 그리고 어느 수가 되는 만약 그 수가 y변수라면, 그 수가 열리는 방향을 알려줄 것입니다 그리고 만약 우리가 실제 꼭짓점을 찾는다면 우리는 0에 걸쳐 잇는 점의 좌표가 ±3이라는 것을 그래프에서 알 수 있고 보기 A가 정말 맞아떨어져 보입니다 다른 보기들은 위아래로 열려 있어도 (0, ±3)이 포함되지 않았고 (0, ±2)가 포함되었습니다 그래서 보기 A가 정답인 듯합니다