이 메시지는 외부 자료를 칸아카데미에 로딩하는 데 문제가 있는 경우에 표시됩니다.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

주요 내용

쌍곡선 그래프 그리기

쌍곡선의 방정식 y^2/4-x^2/9=1이 주어져 있을 때 그래프가 어느 방향으로 열려있고 꼭짓점이 어디있는지 결정해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

저번 쌍곡선 영상에서는 원하는 만큼 예제를 풀어보지 못했습니다 이번 영상에는 그 예제를 풀어보겠습니다 먼저, 쌍곡선의 식이 (y²÷4) - (x²÷9) = 1 (y²÷4) - (x²÷9) = 1인 식이 있다고 가정하겠습니다 (y²÷4) - (x²÷9) = 1인 식이 있다고 가정하겠습니다 (y²÷4) - (x²÷9) = 1인 식이 있다고 가정하겠습니다 첫 번째로 해야 할 것은 이 곡선으 점근선을 찾는 것입니다 그리고, 늘 그랬듯이 저는 정의는 잊어버릴 것입니다 저는 x와 y가 음수와 양수 방향의 무한대와 접할 때 일어나는 상황을 볼 것입니다 만약 y를 구하고 싶다면 먼저 양변에 x²÷9를 더해줍시다 그러면 y²÷4=x²÷9+1라는 식이 나오게 됩니다 그러면 y²÷4=x²÷9+1라는 식이 나오게 됩니다 이제 양변에 4를 곱합니다 그러면 y²=4x²÷9+4라는 식을 얻을 수 있습니다 그러면 y²=4x²÷9+4라는 식을 얻을 수 있습니다 이제 양변의 양수와 음수 제곱근을 구하면 됩니다 이제 양변의 양수와 음수 제곱근을 구하면 됩니다 y는 ±√(4÷9)x+4 입니다 y는 ±√(4÷9)x+4 입니다 그리고 이 식은 더 이상 쪼갤 수 없는 식입니다 하지만 우리가 원하는 것은 이 값이 양수와 음수 방향의 무한대로 나아가는지입니다 x가 양수와 음수 무한대에 접하면 그 값은 어림잡아 어떻게 됩니까? 어떤 근삿값이 나오게 됩니까? 그래프가 어떤 값과 매우 가까워지게 됩니까? y는 근사적으로 아마도 이 값의 제곱근일 것입니다 y는 근사적으로 아마도 이 값의 제곱근일 것입니다 왜냐하면 이 값은 무한히 커지고 상수항은 아무것도 아닌 게 됩니다 우리가 점근선과 가까워지기 때문입니다 점근선과 가까워지면 이 값은 상상 못하는 엄청나게 큰 숫자가 됩니다 아무리 제곱근을 씌운다 하더라고 그 값은 무한히 크게 됩니다 그 값은 무한히 크게 됩니다 그리고 추가로 4를 더하기 때문에 값은 같을 것입니다 그래서 만약 이 값이 양수와 음수 무한대와 가까워진다면 그 값은 √(4÷9)x²일 것입니다 사실 y의 값은 √(4÷9)x²이 아니라 ±√(4÷9)x²일 것입니다 먼저 근호를 생략해보겠습니다 ±√4÷9는 2÷3입니다 (2÷3)x입니다 그래서, 이 값이 점근선입니다 이 값을 두 가지의 선으로 나눌 수 있습니다 y=2/3x와 y=-2/3x입니다 두 선들을 그려놓겠습니다 먼저 축을 그려야 합니다 먼저 축을 그려야 합니다 이게 y축입니다 x축도 그리겠습니다 색도 다른 색을 칠하겠습니다 y는 2/3x인 선을 먼저 그리겠습니다 y는 2/3x인 선을 먼저 그리겠습니다 3칸 앞으로 갈때마다 2칸씩 올라가야 합니다 그려보겠습니다 1, 2, 3칸, 1, 2칸 이 지점이 선의 지점일 것입니다 선을 그려보겠습니다 이 선은 원점을 거쳐야 하는데... 다시 그리겠습니다 이렇게 그려봅시다 이렇게 하면 확실히 원점을 지나갑니다 이렇게 생겼을 것입니다 그리고 원점에서 시작하여서 이렇게 선이 나아갈 것입니다 이 선이 첫 번째 점근선입니다 또 다른 점근선은 y=-2/3x입니다 맞습니까? y=±2/3x일 것입니다 -2/3x은 3칸 앞으로 갈 때마다 2칸 내려갑니다 3칸마다 2칸씩 내려가야 하기 때문에... 3칸마다 2칸씩 내려가야 하기 때문에... 이 지점이 나오게 됩니다 이제 저는 방금의 방법을 이용해서 선을 그릴 것입니다 여기서부터 나간 다음 반대쪽으로도 나가게 됩니다 반대쪽으로도 나가게 됩니다 우린 점근선을 모두 그렸습니다 이제, 또 다른 문제는 쌍곡선이 양옆으로 나갈 것인지, 위아래로 나갈 것인지 입니다 생각할 수 있는 방법은 두 가지입니다 그리고 저는 여러분에게 직관력을 길러주기 위해 이 방법을 쓰겠습니다... x가 0이 되는 경우를 살펴봅시다 x가 만약 0이 된다면 x에 대한 항이 사라지게 도비니다 그리고 y²÷4=1라는 식만 남게 됩니다 그리고 y²÷4=1라는 식만 남게 됩니다 아니면 y²=4라는 식만 남게 됩니다 y=±2라고도 할 수 있습니다 그리고 0±2가 그래프에 있습니다 그리고 0±2가 그래프에 있습니다 그래서 x는 0이 될 수 있습니다 (0, +2)는 이 지점에 있습니다 그리고 (0, -2)는 이 지접에 있습니다 그래서, 이것을 단서로 삼아서 쌍곡선이 여기 그려진다는 것을 알 수 있습니다 그리고 위에도 그려집니다 왜냐하면 쌍곡선은 점근선을 절대 넘을 수 없기 때문입니다 왜냐하면 쌍곡선은 점근선을 절대 넘을 수 없기 때문입니다 점근선은 넘어가게 정의된 것이 아닙니다 그래서 우린 이미 이 그래프가... 다른 점을 시도해 보고 싶다면 해보셔도 됩니다 이 그래프는 이렇게 생겼을 것입니다 이렇게...점근선과 무조건 닿으면 안되는 그래프일 것입니다 아주 가까워 질 것이지만 닿지는 않을 것입니다 아주 가까워 질 것이지만 닿지는 않을 것입니다 아래쪽의 그래프는 점근선과 매우 가까워 질 것이지만 닿지는 않을 것입니다 저도 닿는 것을 원하지 않습니다 반대쪽도 같은 방법으로 그릴 것입니다 매우 근접해도 닿지는 않을 것입니다 매우 근접해도 닿지는 않을 것입니다 아주 가까워진다 해도 절대 닿지 않을 것입니다 그래서 쌍곡선은 이렇게 생겼을 것입니다 저는 이 곡선을 x가 0인 경우만을 따져서 그렸습니다 여러분에게는 y에 대하여 푸는 것을 추천드립니다 얻는 답은 없을 것입니다 왜나허면 이 쌍곡선은 절대 y가 0인 부분을 지나지 않기 때문입니다 x축과 닿아 있지 않습니다 이 과정 역시 직관적일 것입니다, 왜냐하면 이 과정에서도 볼 수 있었듯이 x가 무한대와 접할 때 +4가 언제나 따라다녔기 때문입니다 +4가 언제나 따라다녔기 때문입니다 우리는 이 값이 x가 무한대에 접할 때는 아무 쓸모도 없을 거라고 했지만 이 값은 사실 이 값보다는 약간 큽니다 특히 양수 부분에서 말입니다 양수 부분에서 이 값은 점근선보다 약간 큽니다 그리고 만약 양수 값의 근호를 다룬다면 그리고 만약 양수 값의 근호를 다룬다면 그리고 만약 양수 값의 근호를 다룬다면 언제나 점근선보다 클 것입니다 반대로, 음수 값의 제곱근을 다른다면 점근선보다 아주 약간 작을 것입니다 점근선보다 아주 약간 작을 것입니다 홰냐하면 이 숫자는 이 수보다 아주 약간 크게 되기 때문입니다 음수를 취하게 되면 작게 될 것이고 이게 이 그래프가 약간 아래에 있는 이유입니다 저는 어떤 방법이 직관력을 길러주는데 더 효과적인지 모릅니다 아마도 x가 0이 되는 경우와 y가 0이 되는 경우, 그리고 쌍곡선의 가로, 세로를 따지면 될 것입니다 그리고 시간이 있다면, 이 영상을 그대로 놓겠습니다 그리고 쌍곡선을 움직이는 영상을 하도록 하겠습니다 사실 움직이는 것은 원이나 타원을 옮기는 것과 다를 바 없습니다 y에 빼는 값이나 x에서 더하는 값이 쌍곡선을 가로 세로로 옮기는 것을 의미합니다 당연히 이 쌍곡선은 원점에 있는 쌍곡선입니다 다음 영상에서 뵙겠습니다