쌍곡선이란?

이 동영상에서는 쌍곡선에 대해서 몇 가지를 배우려고 합니다. 대부분의 사람들이 타원 곡선에서 헷갈리는 이유는 원이나 타원보다 그리기가 어렵기 때문입니다 대수학을 조금 사용할 수 있어야 그릴 수 있죠 하지만 이 동영상으로 그 과정을 조금 더 쉽고 더 재미있게 타원 곡선에 대해서 배워볼 수 있으면 좋겠네요 그러면 복습 차원에서 서로 다른 두 원뿔 곡선의 공식에서의 공통점을 찾아봅시다 원의 중심이 원점이라고 하면 x^2 + y^2 = r^2 이 되겠네요 그리고 이 식을 타원의 방정식으로 바꾸어 보려고 해요 타원의 방정식으로 바꾸어 보려고 해요 만약에 양변을 r^2 으로 나누어 준다면 이 식은 x^2/r^2 + y^2/r^2 = 1 으로 바뀌게 됩니다. 그런데 이 식은 원이죠 원에서의 점은 중심으로부터의 거리가 모두 같습니다 아니면 장축과 단축의 길이가 같아요 아니면 장축과 단축의 길이가 같아요 항상 중심에서부터 점까지의 길이가 모두 같아요 그게 원이기도 하고요 타원에서는 이 식이 조금 다르기는 해도 거의 비슷하기는 해요 왜냐하면 중심으로부터의 길이는 달라질 수 도 있기 때문이죠 그러면 타원의 방정식은 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 이죠 이 방정식은 타원을 나타내요 여기서 포물선은 좀 특별한 경우라 건너뛰겠습니다 포물선은 다른 동영상에서 더 깊이있게 다룰게요 그런데 쌍곡선은 이와 거의 비슷한 경우에요 그리고 쌍곡선은 두 가지 식으로 나타낼 수 있어요 그러면 두 가지 모두 해 봅시다 일단, 쌍곡선은 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 이라는 식으로 나타낼 수 있어요 그러면 타원의 방정식과는 단 하나만 다른 것을 알 수 있겠네요 + 대신 - 로 바뀌었어요. 부호를 바꾸었더니 쌍곡선이 되었어요 또 다른 형태는 - 가 반대 쪽에 붙어 있는 거에요 그러면 이 식은 y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1이 되겠네요 그러면 이 식은 y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1이 되겠네요 여기서는 - 가 x^2 의 앞에 붙어 있어요 여기서는 - 가 x^2 의 앞에 붙어 있어요 여기서 알아볼 것은 그러면 이 그래프들의 식은 어떻게 그릴까요? 둘 모두를 해봅시다 많은 교과서에서 또는 여러분이 인터넷에서 본 것에서는 그리는 공식방법을 설명해주어요 하지만 저는 그렇게 하는 방법은 좋아하지 않아요 왜냐하면 첫 번째로 자꾸 까먹게 되서요 여러분도 아마 시험을 보고 나면 금방 잊어버릴거에요 계산을 빨리 하기 위해서 방법을 배워도 금방 잊어버리게 되죠 두 번째 이유로는 여러분은 금방 헷갈리게 돼요 왜냐하면 여기서는 x 밑에는 항상 a 가 y 밑에는 항상 b 가 있게 표시를 해놓았어요 y 밑에는 항상 b 가 있게 표시를 해놓았어요 그래서 만약에 'a/b 가 점근선의 기울기라고 외운다면 a 와 b 를 바꾸어 쓸 수도 있어요 그래서 꼭 한 번 확인 해보고 사용 하시는게 나을 거에요 그리고 그 방법을 이 동영상에서 할 거고요 시간이 많이 걸리지도 않아요 여기 나와 있는 두 식은 모두 쌍곡선 입니다 여기서 해볼 것은 이 식을 y 에 대해서 풀어보는 거에요 이 식에서는 양변이 x^2/a^2을 빼면 좌변에는 - y^2/b^2이 남게 되네요 그리고 이 식은 1 - x^2/a^2 과 같아요 다음으로는 - 를 없애야 되겠고 또 b^2 도 없애야 되겠네요 그러면 양변에 - b^2을 곱해줍시다 만약에 좌변에 - b^2을 곱한다면 좌변의 식에서 - b^2은 소거되고 y^2 만 남게 되네요 그리고 우변에도 곱하면 우변은 - b^2 + (b^2 * x^2) / a^2 이 되겠네요 거의 다 했네요 그리고 마지막으로 해야할 것은 루트를 씌우고 +와 - 부호를 붙여주는 거에요 왜냐하면 두 부호 모두 가능하기 때문에죠 면저 + 인 것을 살펴봅시다 면저 + 인 것을 살펴봅시다 (b^2/a^2) * x^2 - b^2 인데 아마 여러분은 이렇게 생각할지도 모르겠네요 앞에서는 분명히 간단하다고 했는데 이 식은 정말 복잡해 보입니다 하지만 우리가 하고 있는 것은 쌍곡선의 점근선을 찾고 있는 거에요 이 곳에다가 그려봅시다 이 선이 x 축이고 이 선을 y 축이라고 할 때 쌍곡선은 2개의 점근선을 가지게 됩니다 그리고 점근선을 사용해서 쌍곡선을 그려봅시다 만약에 점근선이 이 두 직선이라면 이 두 직선의 기울기는 서로 반대 부호의 값을 가지게 되는데 이는 조금 있다가 보이도록 하겠습니다 만약에 점근선이 이렇다면 쌍곡선의 모양은 점근선에 무한히 다가가는 모양으로 나타나게 되는데요 잘 그린 것은 아니지만 점근선에 그래프가 닿으면 안됩니다 그냥 가까이 가는 것이니까 닿아서는 안되겠죠 쌍곡선의 모양은 오른쪽과 왼쪽으로 열려있는 모양일 수도 있고 또 다른 모양으로는 위와 아래로 열려 있는 모양일 수도 있습니다 아까도 말했지만 점근선은 단지 가까지 다가가는 선이지 절대로 선과 만나지는 않습니다 무한히 가까이 가는 것이지요 그러면 이 식이 어떤 그래프를 나타내는지 알아보기 위해 x 가 무한히 커질 때 어떻게 될지 생각해 봅시다 x 가 무한히 커지게 된다면 또는, x 가 무한히 작아지게 될 때 이걸 이렇게 쓸게요 이렇게 써도 상관이 없는 이유가 근호 안에서 어짜피 제곱을 해주기 때문이에요 그래서 x 가 무한히 커지거나 무한히 작아지면 x^2은 무한히 커지게 됩니다 더 엄밀히 하려면 극한을 사용해야 하지만 일단은 간단하게 해볼게요 이 수가 무한히 커집니다 그런데 이 숫자는 상수에요 그러지까 아무리 x 가 변해도 값은 그대로이죠 그래서 만약에 x 가 무한히 커지거나 무한히 작아짐에 따라 y는 이 기호는 합동을 나타내는 거네요 아직까지도 기호를 쓰는 게 헷갈리네요 이 값은 대략이라는 말인데요 정확히 같지는 않지만 거의 같다는 표시입니다 x 가 무한히 커질 때 이 값은 이 식의 값과 비슷하게 됩니다 그리고 이 값은 루트를 없앤다면 이 식은 +bx/a 이거나 -bx/a 이 됩니다 그리고 이 식은 점근선을 나타내는 식이죠 그러면 하나의 점근선의 기울기는 b/a 가 되겠고 또 다른 하나의 기울기는 - b/a 가 되겠네요 더 명확히 하기 위해서 예시를 몇개 들어볼게요 이미 이 두 직선이 점근선을 알고 있기는 하지만 말이에요 이 점근선이 y = bx/a 라고 합시다 좀 알아보기 힘들게 쓴 것 같네요 그렇다면 아래로 향하는 점근선은 y = - bx/a 가 되겠네요 점근선의 방정식은 이렇게 될거에요 하지만 아직 쌍곡선이 양 옆으로 벌려진 상태인지 아니면 위 아래로 열린 상태인지를 판별해야 해요 이걸 확인 하는 방법은 두 가지가 있는데요 먼저, 하나는 대략의 계산을 하면 됩니다 x 가 무한히 커짐에 따라서 이 식의 값은 점근선의 방정식의 값보다 항상 조금 작게 됩니다 왜냐하면 여기서 양수를 빼주었기 때문이죠 양수를 뺐으니까 제1사분면에서는 항상 점근선 보다 값이 작을 수 밖에 없죠 그렇죠? 저는 이렇게 주로 풀어요 항상, 이 식은 제1사분면이 아니면 헷갈리기는 하겠지만 점근선의 식보다는 조금씩 작아지게 되죠 그렇게 되면 아래쪽도 마찬가지가 되겠네요 위와 같이 아래쪽도 점근선으로 다가가게 되겠네요 이 때 쌍곡선이 오른쪽으로 열려 있으니까 왼쪽으로도 열려 있겠네요 또 다른 방법으로는 원래의 방정식에서 x 나 y 의 값이 0 이 될 수 있는지 찾아보는 거에요 만약에 오른쪽과 왼쪽으로 열려있다면 x = 0이라는 값은 절대로 존재할 수가 없겠죠 하지만 y = 0 인 점은 두 곳이 존재하게 돼요 하지만 x = 0 인 값은 존재할 수가 없어요 그리고 선생님들은 아마 이 점들을 표시해서 y = 0을 대입하라는 방식으로 알려주실 거에요 그리고 이건 처음의 방정식에서도 찾을 수 있죠 사실, 여기있는 이 식에서부터 찾을 수가 있어요 여기서 x 가 0이 될 수 있을까요? 이 방정식을 봤을 때, 만약 x 가 0 이라면 이 근호 안의 값은 - b^2 이 되어서 근호안에 - 부호 만이 남게 됩니다. 우리가 지금 허수를 다루고 있는 것도 아닌데 근호안에 음수가 들어가는 것은 이상하지 않나요? 여기서는 절대로 x 가 0 이 될 수가 없어요 하지만 y 는 0이 될 수 있죠 y 에 0을 대입해서 식을 전개해 볼 수 있는데요 이 식에서 한 번 해봅시다 만약에 y = 0이라면 0 = 루트( b^2*x^2/a^2 - b^2)이 되겠고 양변을 제곱하면 b^2*x^2/a^2 - b^2 = 0이 나오겠네요 정리를 해봅시다 양변에 b^2을 더해주고 양변을 b^2으로 나누어 주고 양변에 a^2을 곱해주면 x^2 = a ^2 이 나오게 됩니다 그리고 x는 a 또는 - a 가 되겠죠 그렇다면 이 점은 (a,0) 그리고 이 점은 (- a, 0) 이 되겠네요 이제 아까의 문제로 돌아가 봅시다 좀 시간이 부족한 것 같아요 만약에 x의 값이 존재할 수 있다면 쌍곡선은 오른쪽과 왼쪽으로 열려있게 된 다는 것을 알아두시면 될 것 같아요 그러면 이와 같은 방법으로 만약에 y 값이 존재할 수 있다면 이 쌍곡선은 위와 아래로 열려있다는 것을 알 수 있겠죠 그러면 직접 알아내 봅시다 이 식을 y 에 대해서 풀어 봅시다 양변에 x^2/a^2을 더해면 좌변은 x^2/a^2 + 1 이 되겠네요 그리고 양변을 b^2으로 곱해주면 y^2 = b^2 * x^2/a^2 + b^2이 되겠네요 이제 양변에 근호를 씌우면 색을 바꾸어 써볼게요 y 는 이러한 식으로 정리가 됩니다 그리고 다시 한번 아까 했던 것과 마찬가지로 x 가 양의 무한대나 음의 무한대로 감에 따라서 이 상수와는 크게 상관 없이 무한대로 가게 됩니다 그냥 이 부분에 근호를 씌워주면 됩니다 근호를 씌우면 아까와 마찬가지로 점근선의 방정식이 나올거에요 그리고 다시 한번 이 점근선들을 그려 보도록 하겠습니다. 그런데 아까와는 다르게 이 식에서는 이 식의 값이 점근선보다는 크게 됩니다 그래서 이 쌍곡선은 위와 아래 방향으로 열린 모양이라는 것을 알 수가 있죠 다른 방식으로는 이 쌍곡선을 봤을 때 x 가 0이 될 수는 있지만 y 가 0이 될 수 없다는 것을 볼 수 있을거에요 그래서 원래의 식을 봐도 x는 0 이 나올 수 있어요 만약에 x = 0을 대입한다면 y 에 대해서 풀기만 하면 되겠네요 하지만 y = 0이라면 x^2 이 음수라는게 나오게 되기 때문에 여기서는 y=0인 값을 가질 수 없게 됩니다 이러한 방법으로 쌍곡선이 양 옆으로 열린 모양인지 위아래로 열린 모양인지 판별할 수가 있어요 이 동영상에서 a 와 b를 대략적으로 해서 좀 헷갈리셨을 수도 있어요 다음 동영상에서는 실제 식을 가지고 쌍곡선, 타원, 원을 그려보도록 하겠습니다 다음 시간에 봅시다